Які можливі числові схеми рівняння дифузії з нелінійним терміном реакції?

Для деякого простого опуклого домену у 2D маємо деякий задовольняє такому рівнянню: з певними граничними умовами Діріхле та / або Неймана. Наскільки мені відомо, застосування методу Ньютона у просторі кінцевих елементів було б відносно простим способом чисельного вирішення цього рівняння. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Мої запитання: (1) Чи існує теорія Соболєва про добре поставлену відповідну варіаційну формулювання цього рівняння, припускаючи нульову граничну умову Діріхле? Якщо так, то який простір Банаха ми повинні розглядати? (2) Які можливі числові підходи для цього типу рівнянь?

pde finite-element

— Шухао Цао
джерело

За допомогою "можливих числових підходів" ви ставите питання про дискретизацію чи алгебраїчні розв'язувачі?

— Джед Браун

Я бачу два підходи:

1) Довільне f (u). Просто поставте f ~ f (u0) праворуч рівняння, продовжуйте будь-яку нелінійну розв'язувальну схему, фіксованою точкою є хорошим вибором, тому що у вас все одно немає якобіанців. Найпростіший у застосуванні та використанні, найзагальніший, але, можливо, низької продуктивності, тому що якобійські не можуть експлуатуватися (як правило, невідомо).

2) f (u) розкладається на ряд (многочлен, Фур'є). Складніше в застосуванні та використанні, може бути складним / неможливим для деяких спеціальних ф. Але взамін ви можете обчислити і використати якобіанців методом, схожим на Ньютона, що, як правило, призведе до чудової продуктивності.

— Домінік Жайворонок
джерело

Я припускав, що функція лише простору, а не нелінійна в . Тобто, єдина нелінійність у задачі - .

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

— Білл Барт

Ви повинні додати u ^ n до f. Тоді ви маєте просту поліноміальну форму терміна реакції, яку найкраще лікувати з підходом 2).

— Домінік Жайворонок