Чи існує алгоритм багаторешітки, який вирішує проблеми Неймана і має коефіцієнт конвергенції незалежно від кількості рівнів?

Багаторідні методи зазвичай вирішують задачі Діріхле на рівнях (наприклад, точка Якобі або Гаус-Сейдель). При використанні методів безперервних кінцевих елементів збирати невеликі задачі Неймана набагато дешевше, ніж збирати невеликі задачі Діріхле. Методи декомпозиції домену, що не перекриваються, такі як BDDC (наприклад, FETI-DP), можна інтерпретувати як багаторідкі методи, що вирішують "закріплені" задачі Неймана на рівнях. На жаль, номер умови для багаторівневої шкали BDDC як

С {(1 + журнал (\frac{Н}{год}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

де - кількість рівнів, а - коефіцієнт згортання. На відміну від цього, номер умови для багаторешітних методів з плавнішими, заснованими на задачах Діріхле, має номер умови незалежно від кількості рівнів. $L$ $H/h$

Чи є спосіб вирішити "прив’язані" проблеми Неймана, не втрачаючи рівня незалежності?

pde multigrid

— Джед Браун
джерело

Зауважте: це відкрите дослідницьке питання, поставлене тут як виклик, оскільки практичне занепокоєння, здається, залишається без уваги багатьма аналітиками, які працюють у цій галузі.

— Джед Браун

Важко сказати, який саме еквівалент блоку "Прив’язаний Нойман" є більш плавним у багатосерійному контексті, принаймні, якщо ви очікуєте, що він візьме ту саму роль, що і у контексті DD. Не могли б ви детальніше розглянути будь-які друковані форми з того, що це було б?

— Пітер Брун

Я не впевнений, чим це відрізняється від BDDC, і це не дуже ретельно проаналізовано, але це здалося цікавим, коли я читав його раніше:

Паралельний мультирешітка Пуассона для симуляції рідин на великих сітках

— целіон
джерело

У цій роботі використовуються методи кінцевих різниць, для яких закономірно побудувати локальні задачі Діріхле. Вони використовують більш загладжений Якобі плавніше (одноточкові проблеми Діріхле). Він має низьку пам'ять (поширений для цього класу методів) і використовує поетапну інтерполяцію сітки (не типово). Це може бути чудовий папір (я не читав його уважно), але це питання малосильне.

— Джед Браун