Чи існують оператори розбиття операторів для мультифізичних PDE, які досягають високої конвергенції порядку?

16

Враховуючи еволюцію PDE

у_{т} = А у + Б у

$u_t = Au + Bu$

де є (можливо, нелінійними) диференціальними операторами, які не здійснюють рух, загальним числовим підходом є чергування розв'язування $A,B$

у_{т} = А у

$u_t = Au$

і

у_{т} = Б у .

$u_t = Bu.$

Найпростіша реалізація цього способу відома як розщеплення Годунова і точна в 1-му порядку. Інший відомий підхід, відомий як Стронгове розщеплення, є точним у другому порядку. Чи існують методи розщеплення операторів вищого порядку (або альтернативні підходи до дискретизації мультифізики)?

pde multiphysics operator-splitting

— Девід Кетчесон
джерело

1

Терміни жорсткі чи нежорсткі? Чи є у вас функція, яка застосовує A і B, або у вас є лише алгоритм, який змінює стан від

до

? У випадку, коли один жорсткий, а другий - не жорсткий, існує багато цікавих методів.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Джед Браун

7

Я розумів, що формула BCH є систематичним способом наближення експоненціалу матриці двох некомутативних матриць.

— Метт Кнеплі
джерело

Але це не призводить до складних термінів, навіть якщо PDE реально? Чи використовують його люди для дискретизації вищого класу 2-го порядку?

— Девід Кетчесон

1

Не з моєї пам'яті (або веб-сторінки). Це призводить до безлічі комутаторів. У квантовому багатолітті є приємні способи спрощення цих виразів.

— Метт Кнеплі

7

Якщо ви вважаєте загальних операторів A і B і якщо ви хочете зробити лише позитивні кроки в часі (що зазвичай потрібно для вирішення параболічних задач), існує бар'єр для порядку 2, тобто, використовуючи будь-який вид розщеплення, ви не можете отримати швидкість конвергенції вище двох. Елементарний доказ подано в недавній роботі С. Бланеса та Ф. Касаса, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Однак є кілька способів, якщо ви знаєте трохи більше про свою проблему:

Припустимо, що ви можете вирішити свої рівняння назад у часі (що є загальним для, наприклад, рівнянь Шредінгера), тоді є багато розщеплення, див. Книгу "Геометрична чисельна інтеграція" Хайрера, Любіча та Ваннера.
Якщо ваші оператори генерують аналітичні напівгрупи, тобто ви можете вставити комплексні значення для t (типові для параболічних рівнянь), нещодавно було помічено, що ви можете отримати розщеплення вищого порядку, зайшовши в складну площину. Перші статті у цьому напрямку - Е. Хансен та А. Остерман, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , та Ф. Кастелла, П. Шартьє , С. Дескомб і Г. Вільмарт. Вибір складних розщеплень, які є "оптимальними" в деякому сенсі, є темою сучасних досліджень, ви можете знайти декілька робіт на цю тему на arxiv.

Підведення підсумків: Якщо ви висловлюєте деякі припущення щодо своєї проблеми, ви можете щось отримати, але якщо ні, то замовлення 2 - це максимум.

PS: Мені довелося перенести посилання на папір Castella та ін з-за запобігання спаму, але ви можете легко знайти його в google.

— Філіп Дорсек
джерело

5

Група CCSE в LBNL нещодавно використовувала методи спектральної відкладеної корекції (SDC) у малому потоці механічної кількості зі складною хімією. Вони порівнюють результати SDC із розщепленням Strang, і результати дуже перспективні.

Ось чернетка з деталями: Стратегія відкладеного виправлення зв'язку для малого потоку чисельності машин зі складною хімією

Зауважте, що схема SDC - це ітеративна схема, яка сходиться до точного рішення колокації високого порядку, але будується з методів першого порядку.

— Метью Еммет
джерело

2

Похибка розщеплення можна, принаймні в принципі, зменшити методами спектрально відкладеної корекції. Однак, здається, це область активних досліджень і насправді не щось готове до загального використання.

— Брайан
джерело

2

Новий ресурс для схем розділення високого порядку, який перелічує досить багато, можна знайти тут:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— Девід Кетчесон
джерело