Як отримати слабке складання часткового диференціального рівняння для методу кінцевих елементів?

Я взяв основний вступ до Методу кінцевих елементів, який не підкреслював складного розуміння "слабкої формулювання". Я розумію, що за методом Галеркіна ми множимо обидві сторони (еліптичного) PDE на тестову функцію, а потім інтегруємо (на частини або за теоремою про дивергенцію). Іноді мені потрібно було двічі інтегруватися по частинах, перш ніж дійти до відповідної слабкої формулювання (на основі відповіді у звороті книги). Але коли я намагаюся застосувати ту саму концепцію до інших PDE (дозвольмо сказати, вони все ще не залежать від часу), я не можу, здається, визнати, коли рецептура підходить для дискретизації. Чи є якийсь «червоний прапор», який може сказати мені, що ЦУ ФОРМУ можна дискретизувати на лінійну систему рівнянь?

Крім того, як я можу вибрати відповідний набір базових функцій?

Задайте собі таке:

По-перше, як інтеграція по частинах впливає на вирішуваність проблеми та простір рішень?

По-друге, для якого простору функцій ви можете побудувати ряд підпросторів (функцій ansatz), які ви можете реалізувати?

Розглянемо задачу Пуассона для f ∈ L 2 , скажімо, на [ 0 , 1 ] , з однорідними граничними умовами Діріхле. При інтеграції ліву і праву частину рівняння можна розглядати як обмежені функціонали на L 2 , скажімо, для ϕ ∈ L 2 маємо$u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

і ϕ ↦ ∫ f ϕ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Так як будь-яка функція може бути L 2 -approximated гладкими функціями з компактним носієм, як інтегральні функціонали повністю відомі , якщо ви знаєте тільки значення для всіх тестових функцій. Але за допомогою тестових функцій ви можете виконати інтеграцію за частинами та перетворити ліву частину на функціональну$L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Прочитайте це як: "Я беру тестову функцію , обчислюю її диференціал і інтегрую її з -u 'над [0,1] і повертаю вам результат." Але цей функціонал не визначений і обмежений на L 2 , оскільки ви не можете прийняти диференціальну довільну функцію L 2 . Вони взагалі можуть виглядати надзвичайно дивно.$\phi$$L^2$$L^2$

$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Тепер ви можете, наприклад, застосувати лемму Lax-Milgram, як це представлено в будь-якій книзі PDE. Книга з кінцевими елементами, яка описує це також, лише з функціональним аналізом, наприклад, класика Сіарле або досить нова книга Брейса.

Лемма Lax-Milgram дає людям з PDE хороший інструмент для чистого аналізу, але вони використовують і більш чужі інструменти, а також для своєї мети. Тим не менш, ці інструменти також є актуальними для числових аналізів, тому що ви можете створити дискретизацію цих просторів.

$H_0^1$$d=1,2,3,...$

$H_0^1$

У випадку змішаних граничних умов, природний пробний простір може відрізнятися від вашого пошукового простору (в аналітичному середовищі), але я не маю уявлення, як описати це, не посилаючись на теорію розподілу, тому я зупиняюся тут. Я сподіваюся, що це корисно.