виготовлені рішення для несжимаемого Нав'є-Стокса - як знайти поля, що не мають розбіжностей?

10

У методі виготовлених розчинів (MMS) один постулює точне рішення, підставляє його в рівняннях і обчислює відповідний вихідний термін. Потім рішення використовується для перевірки коду.

Для нестислимих рівнянь Нав'є-Стокса, MMS легко призводить до (ненульового) джерела в рівнянні безперервності. Але не всі коди дозволяють вихідні умови в рівняннях безперервності, тому для цих кодів робитимуться лише виготовлені рішення з полями швидкості, що не мають розбіжності. Я знайшов цей приклад для домену $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} у_{1} & = - \cos (π х) гріх (π у) \\ у_{2} & = гріх (π х) \cos (π у) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$ У загальних 3D випадках, як можна виготовити поле, що не має дивергенції?

navier-stokes incompressible verification

— Крис
джерело

7

Використовуйте векторну функцію потоку або візьміть поперечний добуток двох градієнтів. Тобто: де - векторне поле на ваш вибір, або де і є двома скалярними полями на ваш вибір.

у = \nabla \times А

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$

A

$\boldsymbol{A}$

у = \nabla f \times \nabla г

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$

f

$f$

g

$g$

Важко обом швидкості бути без дивергенції та призначати граничні умови, але поки ваш код дозволяє встановлювати довільні функції для ваших граничних умов, ви повинні бути в порядку.

ETA: Звичайно, для вашого рівняння імпульсу доведеться приймати функцію примушування, але мені завжди було краще щодо примусового рівняння імпульсу, ніж я додавав правої частини до рівняння безперервності.

— Білл Барт
джерело

Дякую! (примушення рівняння безперервності відбувається лише при моделюванні кавітації, наскільки я знаю)

— chris

5

Це не є загальною відповіддю, але для рівнянь Нав'є-Стокса є виготовлені рішення, що описують реальний потік. Наприклад, популярний вибір потокового поля Ковасної:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

Оригінальна посилання: Ковасна ЛІГ, "Ламінарний потік за двовимірною сіткою". Зб. Кембридж Філос. Соц., Стор. 44, 1948.

— Вольфганг Бангерт
джерело

1948 (!) Я не розумів, що це "реальний потік". Це означає, що його можна вимірювати фізичним експериментом (на відміну від модельованого в числовому експерименті)?

— chris

Я вважаю, так.

— Вольфганг Бангерт

Ні. Це ідеалізований потік на відстані за сіткою. Але ніхто не знає, як виглядає сітка, і, швидше за все, вона повинна бути виготовлена з "дуже м'якого" матеріалу

— Guido Kanschat

2

Ось що я зазвичай роблю.

Визначте функцію оптимізації:

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{х} \\ ψ_{у} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

швидкість дорівнює:

у = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} у_{х} = \partial_{у} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{у} \\ у_{у} = \partial_{z} ψ_{х} - \partial_{х} ψ_{z} \\ у_{z} = \partial_{х} ψ_{у} - \partial_{у} ψ_{х} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

Тепер ви можете вибрати будь-який розумний нульовий середній тиск і побудувати термін примушування.

$\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— Нікола Каваліні
джерело