Чи є чисельні переваги при розв’язуванні симетричної матриці порівняно з матрицями без симетрії?

Я застосовую метод кінцевої різниці до системи з 3 сполучених рівнянь. Два рівняння не з’єднані, однак третє рівняння пари до двох інших. Я помітив, що змінюючи порядок рівнянь, скажімо з $(x, y, z)$ до що матриця коефіцієнтів стає симетричною. $(x, z, y)$

Чи є якась перевага зробити це? Наприклад, з точки зору стабільності або ефективності / швидкості розчину. Матриці є дуже рідкими, якщо це важливо, ненульові доданки знаходяться вздовж центральних діагоналей.

finite-difference symmetry

— boyfarrell
джерело

Так, для вирішення симетричної системи потрібно набагато менше зусиль, ніж несиметрична. Якщо, крім того, ви зможете показати, що ваша матриця коефіцієнтів є позитивно визначеною, значить, ви знаходитесь в хорошому місці.

— JM

Абсолютно!

По-перше, деякі лінійні системи алгебри досить розумні, щоб зберігати лише половину матриці, це може заощадити купу пам'яті. Але навіть якщо це не так, різні алгоритми чисельної лінійної алгебри будуть використовувати симетрію.

Наприклад, давши симетричну матрицю, будь-який власний рішень негайно дізнається, що всі власні значення мають реальну оцінку, і метод рішення може використовувати цей факт.

Типова річ, про яку багато хто подумає, - це методи підпростору Крилова для рішення систем рівнянь : Якщо ваша проблема симетрична, ви знаєте, що вам не потрібні методи для несиметричної задачі, як GMRES, і може опинитися на чомусь меншому об'єм пам'яті, як MINRES, або - якщо ваша матриця також визначена позитивно - CG. На поведінку методу Крилова конвергенція не впливає перестановкою, тому ви навіть можете використовувати симетричні методи для вашої непермутованої системи. $Ax=b$

Іншим прикладом є розкладання вашої матриці в до нижньої частини треугольной- і верхньої трикутної частини . Якщо симетричний, то , і вам потрібно зберегти лише один фактор ( розклад Холеського ). $A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

— Ніко Шльомер
джерело

"... і метод рішення може використовувати цей факт шляхом, наприклад, вирізання помилок округлення в уявній частині під час обчислення." - більше схоже на обчислювальне середовище, що використовує метод, який експлуатує симетрію і гарантовано дає реальні результати.

— JM