Рівняння Пуассона: накладіть повний градієнт як граничну умову через множники Лагранжа

У мене є фізична проблема, керована рівнянням Пуассона у двох вимірах мене є вимірювання двох компонентів градієнта ∂ u / ∂ x та ∂ u / ∂ y вздовж деякої частини межі, Γ m , так що я хотів би накласти ∂

$$-\nabla^2 u = f(x,y), \; in \; \Omega$$ $\partial{u}/\partial{x}$$\partial{u}/\partial{y}$$\Gamma_m$ і поширюється в далеке поле. $$\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}}_0 = g_m, \; on \; \Gamma_m$$

Тангенціальна градієнтна складова, , я можу просто інтегруватись, а потім застосувати через умову Діріхле, так що ∫Γm∂$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)}$ Для того, щоб одночасно накласти нормальну складову, ∂

$$\int_{\Gamma_m}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)} \, ds = u_0$$ , я зібрав, що мені доведеться пройти через множники Лагранжа.$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}$

Тому я думаю, що тоді варіаційна форма Я витрачав тривалий час, намагаючись зібрати його з інформації про пов'язані проблеми, такі як https://answers.launchpad.net/fenics/+question/212434https://answers.launchpad.net/fenics/+question / 216323

$$\int_\Omega \nabla{u} \cdot\nabla{v}\, dx - \lambda \int_{\Gamma_m} ( \frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}-g_m ) v \,ds = \int_\Omega f\, v\, dx$$

але все ще не бачу, де я помиляюся. Моя спроба вирішення поки що:

from dolfin import *

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(64, 64)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
R = FunctionSpace(mesh, "R", 0)
W = V * R

# Create mesh function over cell facets
boundary_parts = MeshFunction("uint", mesh, mesh.topology().dim()-1)

# Mark left boundary facets as subdomain 0
class LeftBoundary(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and x[0] < DOLFIN_EPS

Gamma_Left = LeftBoundary()
Gamma_Left.mark(boundary_parts, 0)

class FarField(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and ( (x[0] > 1.0-DOLFIN_EPS) \
               or (x[1]<DOLFIN_EPS) or (x[1]> 1.0-DOLFIN_EPS) )

Gamma_FF = FarField()
Gamma_FF.mark(boundary_parts, 1)

# Define boundary condition
u0 = Expression("sin(x[1]*pi)")
bcs = [DirichletBC(V, u0, Gamma_Left)]

# Define variational problem
(u, lmbd) = TrialFunctions(W)
(v, d) = TestFunctions(W)

f = Expression("10*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")
g = Constant(0.0)
h = Constant(-4.0)
n = FacetNormal(mesh)

F = inner(grad(u), grad(v))*dx + d*dot(grad(u),n)*ds(0) + lmbd*dot(grad(v),n)*ds(0)-\
   (f*v*dx + g*v*ds(1) + h*d*ds(0) + lmbd*h*ds(0))

a = lhs(F)
L = rhs(F)

# Compute solution
A = assemble(a, exterior_facet_domains=boundary_parts)
b = assemble(L, exterior_facet_domains=boundary_parts)
for bc in bcs: bc.apply(A, b)

w = Function(W)
solve(A, w.vector(), b, 'lu')
(u,lmbd) = w.split()

# Plot solution
plot(u, interactive=True)

який працює, але дає галасливий результат, зовсім не схожий на рішення рівняння Пуассона. Здається, це має щось спільне з комбінованими просторами функцій, але я не можу знайти помилку.
Буду вдячний за будь-яку допомогу чи покажчики в правильному напрямку - вже велике спасибі!
Ура,
Маркус

По-перше, загальний пункт: ви не можете прописати довільні граничні умови для часткового диференціального оператора і очікувати, що рівняння часткового диференціала (яке завжди включає в себе і оператор, і граничні умови) є добре поставленим, тобто допускає унікальне рішення, яке постійно залежить від Дані - все це є необхідною умовою насправді намагатися щось обчислити.

Залежно від оператора, часто існує достатня кількість дійсних умов, які ви можете встановити (щоб отримати смак, див. Тритомну монографію Lions and Magenes). Однак те, що ви намагаєтеся зробити (вкажіть повний градієнт, що еквівалентно умовам Діріхле та Неймана на одній і тій же (частині границі) для еліптичного PDE другого порядку) - серед них немає - це відоме як бічна проблема Коші, і це неправильно: немає гарантії, що дана пара граничних даних приймає рішення, і навіть якщо така існує, немає стабільності щодо невеликих збурень у даних. (Насправді, це оригінальна недоброзичлива проблема в значенні Адамара, і класичний приклад, чому ви не можете ігнорувати граничні умови, обговорюючи добре поставленість. Ви можете знайти чіткий приклад у його Лекціях про проблему Коші в лінійному частковому диференціалі рівняння 1920-х рр.)

$(r,R)\times(a,b)$$x=r$$R$$x\to \infty$$y=a$$y=b$

1. Якщо ви можете встановити граничні умови (Нейман, Робін, Діріхлет, - які вам, до речі, потрібно було б зафіксувати константу при інтеграції тангенціальної похідної), тоді достатньо використовувати або нормальні компоненти вашого градієнта як умову Неймана (якщо ви можете виправити постійний режим) або інтегрувати дотичні компоненти як умова Діріхле. Оскільки обидві умови, імовірно, відповідають одній і тій же функції, ви отримуєте однакове рішення в будь-якому випадку.

2. $y=a$$y=b$$-\Delta u=f$$-\Delta u + \varepsilon \Delta^2 u=f$$\varepsilon>0$$H^2$$u$$u_\varepsilon$$u$$\varepsilon\to0$

   $H^2$

Ви не можете розраховувати, що рішення вашої зміненої проблеми буде рішенням проблеми Пуассона, оскільки вам потрібно якось змінити проблему, щоб вона була добре поставлена.

$$F(u, \lambda) = \int_\Omega \frac{1}{2}|\nabla u|^2 \;\mathrm{d}x - \int_\Omega f u \;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} g u \;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S$$ $(u,\lambda) \in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$V = \{v\in H^1;v|_{\Gamma_\mathrm{D}}=0\}$$\Gamma_\mathrm{D}$$u_\mathrm{D}$$\Gamma_\mathrm{N}$$F(u)$ $$0 = \mathrm{D}F(u)[v] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad \forall v\in V,$$ ${\Gamma_\mathrm{N}}$${\Gamma_\mathrm{D}}$ $$0 = \mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda v\;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \mu (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S \quad \forall (v,\mu)\in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N}),$$ $-\Delta u=f$$\frac{\partial u}{\partial\mathbf{n}} = g-\lambda$$\Gamma_\mathrm{N}$$\Gamma_\mathrm{N}$

$\lambda\ll|g|$

$\Gamma_\mathrm{D}$$v\in V$$\Gamma_\mathrm{D}$

Висновок: ви не можете очікувати, що PDE другого порядку визнає дві незалежні граничні умови.

---

$F(u,\lambda)$$\mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu]$derivative()

$F(u,\lambda)$$\lambda\in L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$\lambda\in L^2(\Omega)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Ваш підхід не може працювати, безумовно, через імплементацію та, можливо, через формулювання.

Нав'язуючи умови Діріхле в dolfin, врешті-решт встановлюється відповідне значення DOF у вашому тестовому просторі до нуля.

Це уривок із посібника з феніків :

Розділ 3.3.9 (кінець): Застосування межової умови Діріхле до лінійної системи визначить усі ступені свободи, які слід встановити заданому значенню, та модифікує лінійну систему таким чином, щоб її рішення відповідало крайовій умові. Це досягається нулюванням та вставкою 1 на діагоналі рядків матриці, що відповідає значенням Діріхле, та введенням значення Діріхле у відповідний запис правого бічного вектора [...]

$v$$\Gamma_m$

Підсумовуючи це, використовуючи стандартну процедуру в dolfin, ви не можете застосовувати і Діріхле, і інші умови на одній межі.

Однак перш ніж спробувати це виправити у своїй реалізації, перейдіть до пошуку правильних тестових просторів для вашої математичної постановки (як щойно згадував @Jan Blechta.)