Використання ітерації з фіксованою точкою для роз'єднання системи pde

Припустимо, у мене була проблема граничного значення:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Моя мета - розкласти рішення цієї зв'язаної задачі на послідовність нерозв'язаних PDE. Для розв’язки системи я застосовую ітерацію з фіксованою точкою по послідовності наближень $(u^k,v^k)$ таким чином, що

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Теоретично це дозволило б мені розв’язати обидва рівняння як чисто еліптичні PDE. Однак я ніколи не бачив ітерацій фіксованої точки, застосованих до PDE таким чином. Я бачив ітерації з фіксованою точкою, застосовані до числово дискретизованих рівнянь (метод кінцевих різниць, метод кінцевих елементів тощо), але ніколи безпосередньо до суцільних рівнянь безпосередньо.

Чи я порушую якийсь кричущий математичний принцип, роблячи це? Це математично справедливо? Чи можу я вирішити зв'язаний PDE як послідовність нероз'єднаних PDE, використовуючи ітерацію з фіксованою точкою, застосовану до проблеми ПРОМІННОЇ змінної, а не проблему змінної DISCRETE?

На даний момент я не дуже переймаюся тим, чи практично використовувати цей метод, а скоріше, чи це теоретично правдоподібно. Будь-який відгук буде дуже вдячний!

pde iterative-method

— Пол
джерело

У літературі щодо гіперболічної PDE фракційний крок та методи розщеплення операторів роблять те, що ви описуєте вище.

— Джефф Оксберрі

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: Так! Я просто виправив це.

— Павло

@GeoffOxberry: Я вважаю, що розбивка оператора є дуже різною за характером.

— анонім

@Paul: Я можу придумати хоча б ще одну проблему, коли "з'єднані PDE" вирішуються за допомогою ітерації з фіксованою точкою (а не просто сформульованої як проблеми з фіксованою точкою): розкладання домену, див., Наприклад, метод Ноймана – Діріхле. (різниця тут полягає в тому, що у вас є два PDE, але вони живуть у різних доменах, а з'єднання відбувається лише через інтерфейс).

— анонім

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (плюс граничні умови).

Зрозуміло, що якщо ця послідовність зблизиться, це буде рішенням вашого початкового набору PDE.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Ця логіка працює як в безперервному, так і в дискретному просторі.

— Ніко Шльомер
джерело

Чи не повинен ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Павло