Чому важко чисельно вирішити багатоелектронне залежне від часу рівняння Шредінгера

Здається, що люди зазвичай використовують наближення єдиного активного електрона (SAE) для роботи з багатоелектронною системою, перетворюючи проблему в єдину задачу електронів. Наприклад, при чисельному вирішенні проблеми взаємодії атома гелію з лазерними полями люди, як правило, приблизно включають електрон-електронний ефект за допомогою псевдопотенціалу і по суті вирішують одну електронну задачу. То чому ж важко навіть чисельно вирішити залежне від часу багатоелектронне рівняння Шредінгера? Це набагато складніше, ніж класична проблема n-тіла? Я бачив, що там дуже багато класичного$n$- проблема, яка чисельно вирішується в астрономії навіть у режимі реального часу, наприклад, тут симулюють зіткнення двох галактик у взаємодії 280000 частинок.

Так, зробити це набагато складніше. Для$N$ проблема з тілом, все, що потрібно для обчислення, - це траєкторії $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ які справедливі $N$ функції однієї змінної.

З іншого боку, навіть для одиничного електрона рішення рівняння Шредінгера є функцією $\Psi(x,y,z,t)$, тобто функція з чотирьох змінних. Для двох електронів ви шукаєте функцію$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$описуючи хвильову функцію як функцію розташування двох електронів плюс час. Це сім змінних.

Тепер, якщо ви пам’ятаєте, як розв’язувати звичайні диференціальні рівняння такі рівняння Ньютона для $N$ Проблема з тілом, то вам потрібно рухати кожне рівняння вперед, крокуючи від часу $t$ до $t+\Delta t$і обчислити рішення там. Отже, якщо ви розділите свій часовий інтервал$[0,T]$ в $M$ інтервали довжини $\Delta t=T/M$ тоді зусилля для кожного кроку часу будуть $N^2M$ використовуючи наївну реалізацію взаємодій $N$ органи (ви можете використовувати методи для досягнення $N (\log N) M$ зусилля, але це крім пункту).

З іншого боку, щоб знайти функцію з 7 змінних, припустимо, що ви поділите інтервал часу на $M$підінтервалі, як зазначено вище, але ви також робите те саме для 6 просторових координат. Тоді є всього$M^7$точок сітки для розгляду. І взагалі за ан$N$ квантова система тіла, у вас є $M^{3N+1}$.

Зараз це легко перевірити навіть для досить невеликої кількості $N,M$, зусилля $M^{3N+1}$ значно більше, ніж $N^2M$, що пояснює, чому багатоквартирні квантові обчислення зробити надзвичайно набагато дорожче, ніж $N$ класична механіка тіла.