Переривчастий Галеркін / Пуассон / Фенікс

Я намагаюся розв’язати 2D рівняння Пуассона за допомогою методу Переривчастий Галеркін (DG) та наступної дискретизації (у мене є png-файл, але мені не дозволяється завантажувати його, вибачте):

Рівняння:

$$\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0$$

Нові рівняння:

$$q = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f$$

Слабка форма з числової флюси T і Q :$\hat{T}$$\hat{q}$

$$\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV +  \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v dV = \int v f dV +  \int \hat{q} \cdot n v dS$$

Числові потоки (метод IP):

$$\hat{q} = \{\nabla T\} – C_{11} [T]\\ \hat{T} = \{T\}$$

з

$$\{T\} = 0.5 (T^+ + T^-)\\ [T] = T^+ n^+ + T^- n^-$$

Для написання рівняння я написав простий сценарій пітона для феніків. Я отримую рішення не добре. Я дуже вдячний, якщо хтось, знайомий із методом DG, міг би швидко ознайомитися зі сценарієм нижче і сказати мені, що я роблю неправильно.

Безперервна формулювання галеркіна, яку я додав у сценарії, дає приємне рішення.

Заздалегідь дякую

from dolfin import *

method = "DG" # CG / DG

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquare(32, 32)
V_q = VectorFunctionSpace(mesh, method, 2)
V_T = FunctionSpace (mesh, method, 1)
W = V_q * V_T

# Define test and trial functions
(q, T) = TrialFunctions(W)
(w, v) = TestFunctions(W)

# Define mehs quantities: normal component, mesh size
n = FacetNormal(mesh)

# define right-hand side
f = Expression("500.0*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")

# Define parameters
kappa = 1.0

# Define variational problem
if method == 'CG':
  a = dot(q,w)*dx \
       + T*div(kappa*w)*dx \
       + div(q)*v*dx

elif method == 'DG':
  #modele = "IP"
  C11 = 1.

  a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
      - kappa*avg(T)*dot(n('-'),w('-'))*dS \
                                           \
      + dot(q,grad(v))*dx \
      - dot( avg(grad(T)) - C11 * jump(T,n) ,n('-'))*v('-')*dS

L = -v*f*dx

# Compute solution
qT = Function(W)
solve(a == L, qT)

# Project solution to piecewise linears
(q , T) = qT.split()

# Save solution to file
file = File("poisson.pvd")
file << T

# Plot solution
plot(T); plot(q)
interactive()

Щоб реалізувати свою проблему в FEniCS, вам слід замінити інтеграли з точки зору меж інтегралами з точки зору ребер. Це вводить стрибки / середні показники в тестових функціях, які ви повністю пропускаєте у своїй реалізації. Отже, система не є зворотною, і ваше рішення не виглядає правильно. Рівняння (3.3) у Arnold et. ін. 2002 рік дає вам інструмент для переписування слабкої форми:

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} q_K \cdot n_K \phi_K\,ds=\int_\Gamma [q] \cdot \{\phi\}\,ds + \int_{\Gamma^0} \{q\} \cdot [\phi]\,ds$$

Тут - це об'єднання ваших країв і однакове без меж.$\Gamma$$\Gamma^0$

Тепер ваші флюси однозначні, це означає, що ви можете скидати стрибки ваших флюсів. Звідси

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} \hat{q}\cdot n_K v_K\,ds=\int_{\Gamma^0} \hat{q} \cdot [v]\,ds + \int_{\partial\Omega} \hat{q} \cdot n v\,ds\\ \sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} w\cdot n_K \kappa\hat{T}\,ds=\int_{\Gamma} [w] \cdot \kappa\hat{T}\,ds$$

Це призводить нас до наступної модифікації вашого коду:

C11 = 1.
qhat = avg(grad(T)) - C11 * kappa*jump(T,n)
qhatbnd = grad(T) - C11 * kappa*T*n

a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
  - kappa*avg(T)*jump(w,n)*dS \
  - kappa*T*dot(w,n)*ds \
  - dot(q,grad(v))*dx \
  + dot( qhat, jump(v,n))*dS \
  + dot( qhatbnd, v*n)*ds

У мене ще не було часу, щоб реально спробувати це, тож знайте про можливі помилки знаків тощо. Але я сподіваюся, що це все одно допоможе.

Список літератури: Д. Н. Арнольд, Ф. Брецці, Б. Кокберн, Л. Д. Маріні: Уніфікований аналіз розривних методів Галеркіна для еліптичних проблем SIAM J. Num. Анальний, 39 (2002), 1749-1779

Так, я справді щось пропускав!

Зараз це добре працює.

Дуже дякую за допомогу!