Тиск як множник Лагранжа

У невимовному рівнянні Нав'є-Стокса термін тиску часто називають множником Лагранжа, що примушує умова нестисливості.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

У якому сенсі це правда? Чи існує формулювання нестислимих рівнянь Нав'є-Стокса як проблема оптимізації, що підлягає обмеженню нестислимості? Якщо це так, чи є чисельний аналог, в якому рівняння потоку несжимаемой рідини вирішуються в рамках оптимізації?

— Бен
джерело

Це найлегше помітити, розглядаючи стаціонарні рівняння Стокса що еквівалентно задачі Якщо записати лагранжанські, а потім умови оптимальності цієї проблеми оптимізації, ви виявите, що тиск дійсно є множником Лагранжа.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Ця еквівалентність задач не використовується в жодній числовій схемі (про яку я знаю), але це важливий інструмент аналізу, оскільки показує, що рівняння Стокса є по суті рівнянням Пуассона на лінійному підпросторі. Те ж саме справедливо і для залежних від часу рівнянь Стокса (що відповідає рівнянню теплоти на підпросторі), і його можна поширити на рівняння Нав'є-Стокса.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Дякую за чудову відповідь. Чи знаєте ви, чи можна цю рецептуру поширити на залежний від часу випадок?

— Бен

Так, як я кажу, це призводить до рівняння тепла на підпросторі функцій, що не мають дивергенції.

— Вольфганг Бангерт

Вибачте, я мав би бути зрозумілішим. Чи є спосіб переробити залежні від часу рівняння Стокса (або Нав'є-Стокса) як проблеми оптимізації, можливо, функціональної інтегрованої з часом?

— Бен

Не як проблема оптимізації - рішення рівняння тепла нічого не зводить до мінімуму (хоча це стаціонарна точка функції Лагрангія). Але ви можете сформулювати рівняння Стокса так: Знайдіть щоб для всіх з обмеженням, що . Зауважте, що я вибрав пробний простір менший, ніж пробний простір, і тому ліва і права частина варіаційного рівняння не будуть рівними. Різниця - тиск.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Вольфганг Бангерт