Яким чином проблеми тріангуляції Вороного та Делауна є дуалами одне одного?

Мені завжди говорили, що діаграма Вороного є двоїстою проблемою триангуляції Делоне. У якому сенсі вони можуть бути дуалами один одного? Я думав, що подвійні проблеми (тобто в лінійному програмуванні) повинні дати однакову відповідь. Зрозуміло, що дві проблеми не мають однакового рішення. Як ми можемо вважати їх дуалами?

Проста відповідь полягає в тому, що вони є подвійними, оскільки для кожної делаунової тріангуляції існує одна і тільки одна відповідна вороной тесселяція і навпаки. Це стосується більшості випадків, але є випадки, коли кореспонденція не одна до одної. Наприклад, у випадку, коли тесселяція voronoi є звичайною квадратною сіткою.

І тестуляція Вороного, і триангуляція делауна нетривіальні для обчислення для заданого набору точок. Але як тільки ви знайшли один, інший легко знайти.

У тріангуляції делауна множини точок , всі трикутники є "делаунаю", що означає, що всередині окружності немає точок, що відповідають жодному з трикутників.$P$

Ворона тесселяция для безлічі точок, , складається з безлічі осередків Вороного R , таким чином, що для кожної точки в R я ближче до Р я тоді в будь-яку іншу точку P .$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

Враховуючи затримку триангуляції просто з'єднайте сусідні трикутники навколо окружних центрів.

Враховуючи набір точок і вороной тесселяції просто з'єднують сусідні точки осередків. Звичайно, з огляду на те, що ви знаєте набір точки P, що використовується при побудові тензоляції вороної.$P$$P$

Просто для ілюстрації того, що говорять інші: синій внизу - діаграма Вороного, червоний - подвійна триангуляція Делоне. Вони подвійні один одному як геометричні плоскі графіки. З діаграми Вороного тривіально вивести триангуляцію Делоне. Зворотний напрямок не настільки очевидний, але залишається істинним, що з триангуляції Делоне і деякого розрахунку можна обчислити діаграму Вороного.
          
Я обчислював ці діаграми для 50 випадкових точок у Mathematica, використовуючи пакет ComputationalGeometry . Дивіться це посилання для мого коду.

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

У певному сенсі це схоже на подвійність, що існує між трикутними та шестикутними гратами в статистичній фізиці. Середини осередків у рівносторонній трикутній решітці при з'єднанні утворюють шестикутну решітку і навпаки .

Однак слід зазначити, що не всі тесселяції Вороного є дуалами триангуляцій Делоне; ці відносини, ймовірно, справедливі лише для невагомих тесселяцій Вороного. Для зважених методів тесселяції, в яких для визначення ребер використовується щось інше, ніж евклідова відстань, відповідність руйнується.

Щоб детальніше зупинитися на коментарі Джеффа: триангуляція Делоне та діаграми Вороного - це "об'єкти", а не "проблеми". Отже, говорити про "рішення" трохи не вдається.

Подвійність між тесаляціями та тріангуляціями: Щоб перейти від тріангуляції до тесселяції, ви формуєте набір Вороного вершин триангуляції. Щоб перейти від тесселяції Вороного до триангуляції Делоне, ви з'єднуєте "середні точки" двох комірок, якщо вони торкаються один одного.

Графіки Вороного та Делона називаються подвійними за своїми властивостями графіків. Дивіться подвійний графік у Вікіпедії.