Який стан сучасних паралельних методів ODE?

Зараз я розглядаю паралельні методи інтеграції ODE. Існує багато нової та старої літератури, яка описує широкий спектр підходів, але я не знайшов останніх опитувань чи оглядових статей, що описували б цю тему взагалі.

Є книга Бургера [1], але їй майже 20 років, а отже, вона не охоплює багатьох сучасних ідей, як парареальний алгоритм.

[1] К. Бураж, паралельні та послідовні методи для звичайних диференціальних рівнянь, Clarendon Press, Oxford, 1995

Я не знаю жодних останніх оглядових статей, але я активно беру участь у розробці алгоритму PFASST, тому можу поділитися деякими думками.

Я знаю три широких класи часових паралельних методик:

• через метод - паралельно можна оцінювати незалежні етапи інтеграторів РК або екстраполяції; див. також RIDC (ревізіоністський алгоритм виправленої корекції)
• через проблему - релаксація форми хвилі
• через часову область - Парареаль; PITA (паралельний за часом алгоритм); і PFASST (паралельна схема повного наближення у просторі та часі).

Способи, що паралелізуються методу, зазвичай виконують дуже близько до специфікацій, але не виходять за рамки кількох процесорів часу. Зазвичай їх порівняно легше здійснити, ніж інші методи, і вони хороші, якщо у вас є кілька зайвих ядер, які шукають передбачувані та скромні скорочення.

Методи, що паралелізуються у часовій області, включають Parareal, PITA, PFASST. Ці методи є ітераційними і складаються з недорогих (але неточних) "грубих" пропагаторів та дорогих (але точних) "тонких" пропагаторів. Вони досягають паралельної ефективності шляхом паралельної оцінки паралельного розмножувача паралельно для поліпшення серійного розчину, отриманого за допомогою грубого розмножувача.

$E$$E < 1/K$$K$

Безліч ігор можна зіграти з усіма цими методами, щоб спробувати пришвидшити їх, і здається, що ефективність цих методів у домені залежить від того, яку проблему ви вирішуєте та які методи доступні для прискорення грубої роботи пропагатор (грубі сітки, грубі оператори, груба фізика тощо).

Деякі посилання (див. Також посилання, перелічені в статтях):

• Ця стаття демонструє, як різні методи можуть бути паралелізовані по методу: Теоретичне порівняння явного Runge-Kutta, екстраполяції та відкладеної корекції методів ; Кетчесон і Уїд.

• У цьому документі також показаний приємний спосіб паралелізації методу та введено алгоритм RIDC: Паралельні інтегратори високого порядку ; Крістліб, Макдональд, Онг.

• У цьому документі представлено алгоритм PITA: Часово-паралельний неявний метод для прискорення рішення нелінійних структурних динамічних задач ; Кортіал і Фархат.

• Про Parareal існує багато паперів (тільки Google це).

• Ось стаття про метод Нівергельта: мінімальний комунікаційний підхід до паралельної інтеграції часу ; Баркер.

• Ця стаття вводить PFASST: На шляху до ефективного паралельного у часі методу для часткових диференціальних рівнянь ; Еммет і Міньйон;

• У цій роботі описано акуратне застосування PFASST: масово просторово-часовий паралельний розв'язувач N-корпусу ; Speck, Ruprecht, Krause, Emmett, Minion, Windel, Gibbon.

Я написав дві реалізації PFASST, доступні в мережі: PyPFASST та libpfasst .

Хоча цій посаді вже два роки, якщо хтось натрапив на неї, дозвольте мені коротко оновити:

Нещодавно Мартін Гендер написав приємну статтю з огляду, яка дає історичну перспективу на місцях та обговорює багато різних методів PINT: http://www.unige.ch/~gander/Preprints/50YearsTimeParallel.pdf

Зараз є також веб-сайт спільноти, який містить дуже багато посилань та описує різні методи: http://www.parallel-in-time.org/

Зокрема, обговорення алгоритму паралельного паралельного часу можна знайти тут: https://en.wikipedia.org/wiki/Parareal

$u_0$$u(t)=\exp(-\lambda t)u_0,$ $\mathrm{Re}\,\lambda>0.$