Плутанина щодо квантового Монте-Карло

Моє запитання стосується вилучення спостережуваних даних із методів QMC, як описано в цій посиланні .

Я розумію формальне виведення різних методів QMC, таких як Path Integral Monte Carlo. Однак наприкінці дня я все ще плутаюсь щодо того, як ефективно використовувати ці методи.

Основна ідея виведення методів Quantum MC полягає в дискретизації через наближення Троттера, оператора, який може бути або матрицею щільності, або оператором еволюції часу квантової системи. Потім ми отримуємо класичну систему з додатковим виміром, яка може бути оброблена методами МС.

З огляду на те, що ми можемо інтерпретувати в квантовому операторі як зворотну температуру, так і уявний час, метою цих алгоритмів має бути обчислення апроксимації цього оператора. Дійсно, якби ми безпосередньо вимірювали величини з різних конфігурацій, відібраних в ході моделювання, у випадку "зворотної температури" ми мали б вибірки з дотриманням щільності ймовірності на основі , де - кількість дискретних етапів, введених у Розкладання троттера. Натомість у випадку "уявного часу" ми отримували б зразки на різних дискретних часових етапах, отримуючи таким чином середні показники за часом. Ми також не отримаємо такої кількості, як $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ в даний момент часу , з деяким оператором, що спостерігається. $t$ $\hat{A}$

Однак, на мою думку, кількість, яку ми вибираємо безпосередньо з такого роду моделювання (взяті з (5.34) документа, стор. 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

не можуть бути величини, пов'язані з квантовою системою, враховуючи додатковий вимір. Натомість правильні квантові величини можна обчислити за допомогою формул типу (5.35), які містять у кожному зразку цілий ланцюг модельованих конфігурацій: $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Я правий, що для отримання корисної інформації про дане спостережуване потрібно ряд моделей QMC?

monte-carlo quantum-mechanics

— Пеппо
джерело

За умови, що я вас правильно зрозумів, мені здається, що два підходи є рівнозначними, якщо система ергодична.

— Даніель Шаперо

@DanielShapero Що ти маєш на увазі під рівнозначністю?

— Піппо

Я просто гугл стежка інтеграл Монте-Карло, і ви насправді просто ігноруйте те, що я сказав, це не має значення.

— Даніель Шаперо

Я не думаю, що є сумніви щодо Quantum Monte Carlo; це дуже добре зрозуміло і жорстко підтримується теоретично ...

— Нік

Що ви маєте на увазі під ? - це число, і якщо - це дискретизація, як ви сказали, це набір. Чи призначений бути номером риси?

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

— День

Відповіді:

У вашому питанні багато плутанини. Для мене найважливіше те, що ви пропускаєте той "наївний" QMC, який є обчисленням Монте-Карло інтегралів в якомусь варіаційному методі та дифузією Монте-Карло - різні методи з різною аргументацією та деривацією.

Однак головний момент - це уявний час. У дифузії уявний час Монте-Карло - хитрість перетворити незалежне від часу рівняння Шредінгера у залежне від часу дифузійне рівняння, розв’язання якого у нескінченному обмеженні "часу" має тенденцію до рішення оригінального рівняння Шредінгера. Це воно. Час у DQMC не справжній.

Відносно добре, але просте пояснення дано у « Оглядах сучасної фізики», 73, 33 (2001) .

PS До речі, що ви маєте на увазі під наближенням Троттера у своєму питанні?

— Міша
джерело

Я не думаю, що це плутанина - це моє питання, оскільки я ніколи не згадував про Diffusion MC, ідея якого зовсім інша, хоча вона також починається з дискретизації оператора еволюції щільності / часу (але закінчується іншою інтерпретацією це).

— Піппо

Під "наближенням Троттера" я маю на увазі ідею наближення оператора з твором , з істота .

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

— Піппо

До речі, я врешті-решт вирішив своє питання, звернувшись безпосередньо до професора в кінці іспиту (який пройшов дуже добре: D), і так, ми не можемо прямо зв'язати симульовані кількості з квантовими бажаними.

— Піппо

@Pippo Отже, те, що ви насправді мали на увазі, це шлях-інтеграл Монте-Карло. Я досі не бачу, щоб ти згадував про це у своєму питанні.

— Міша

Другий рядок: "Я розумію формальне виведення різних методів QMC, таких як Path Integral Monte Carlo." ;)

— Піппо

Ви маєте рацію, що люди постійно використовують методи Монте-Карло, щоб обчислювати статистичні середні показники (на відміну від інформації, що визначається часом). Не обов'язково правда, що саме це слід розраховувати: це залежить від того, яку інформацію ви бажаєте. Можливо, наприклад, у вас є залежне від часу зовнішнє форсування, і ви хочете побачити, як система розвивається у відповідь.

— Ден
джерело

Дякую за відповідь. Я спробую дати докладнішу інформацію про те, що я прошу. Щоб зробити себе більш зрозумілим, я посилаюся на цю роботу, яку я знайшов в Інтернеті: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

Основна ідея виведення методів Quantum MC полягає в дискретизації через наближення Троттера, оператора, який може бути або матрицею щільності, або оператором еволюції часу квантової системи; таким чином ми отримуємо класичну систему з додатковим виміром, яка може бути оброблена методами МС.

— Піппо

Однак, на мою думку, величини, які ми вибираємо безпосередньо з подібного роду моделювання (див. (5.34) документа, сторінка 35), не можуть бути величинами, пов'язаними з квантовою системою, враховуючи додатковий вимір. Натомість правильні квантові величини можна обчислити за допомогою формул типу (5.35), які дійсно містять у кожному "зразку" цілий ланцюг конфігурацій

M

$M$

— Піппо

Тут виникає моє запитання: я прав, чи моє тлумачення методів Кванту Монте-Карло?

— Піппо

Я також відредагую своє первісне запитання.

— Піппо