У чому полягають концептуальні відмінності між методом кінцевого елемента та кінцевим об'ємом?

Існує очевидна різниця між скінченною різницею і методом кінцевих обсягів (перехід від визначення точки рівнянь до інтегральних середніх значень по осередках). Але я вважаю, що FEM і FVM дуже схожі; вони обидва використовують цілісну форму і середню за клітинами.

Що робить метод FEM, що FVM не є? Я прочитав невелику інформацію про FEM Я розумію, що рівняння написані в слабкій формі, це дає методу дещо інший констатуючий момент, ніж FVM. Однак на концептуальному рівні я не розумію, у чому полягають відмінності. Чи FEM робить якесь припущення щодо того, як невідоме змінюється всередині комірки, чи це також не можна зробити з FVM?

Я здебільшого підходжу з 1D точки зору, тож, можливо, FEM має переваги з більш ніж одного виміру?

Я не знайшов у мережі багато інформації, доступної на цю тему. У Вікіпедії є розділ про те, чим FEM відрізняється від методу кінцевих відмінностей, але про це йдеться http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comppare_to_the_finite_difference_method .

Кінцевий елемент: об'ємні інтеграли, внутрішній поліном

Класичні методи кінцевих елементів припускають неперервне або слабко неперервне наближення просторів і вимагають задоволення об'ємних інтегралів слабкої форми. Порядок точності збільшується за рахунок підвищення порядку наближення всередині елементів. Методи не зовсім консервативні, тому часто борються зі стабільністю за переривчасті процеси.

Кінцевий об'єм: поверхневі інтеграли, потоки від переривчастих даних, порядок відновлення

Методи кінцевих обсягів використовують кусково-постійні простори наближення і просять інтегралів проти кусково-постійних тестових функцій, які слід задовольнити. Це дає точні твердження про збереження. Інтеграл об'єму перетворюється на поверхневий інтеграл, і вся фізика визначається через потоки в цих поверхневих інтегралах. Для гіперболічних проблем першого порядку це рішення Рімана. / Еліптичні потоки другого порядку є більш тонкими. Порядок точності збільшується за допомогою використання сусідами (консервативно) реконструкції подань вищого порядку стану всередині елементів (реконструкція / обмеження схилу) або реконструкцією потоків (обмеження потоку). Процес реконструкції зазвичай нелінійний для контролю коливань навколо розривних особливостей рішення, див. зменшення загальної варіації (TVD) і по суті не коливальних (ENO / WENO) методів. Нелінійна дискретизація необхідна для одночасного отримання як вищої точності першого порядку в гладких областях, так і обмеженої сумарної зміни в розривах, див.Теорема Годунова .

Коментарі

І FE, і FV легко визначити точність до другого порядку в неструктурованих сітках. ЗП легше вийти за рамки другого порядку на неструктурованих сітках. FV обробляє невідповідні сітки легше та надійніше.

Поєднання FE та FV

Методи можна одружуватися різними способами. Переривчасті методи Галеркіна - це методи кінцевих елементів, які використовують переривчасті базисні функції, тим самим набуваючи розв'язків Рімана і більше стійкості до переривчастих процесів (особливо гіперболічних). Методи DG можуть бути використані з нелінійними обмежувачами (як правило, з деяким зниженням точності), але задовольняють клітинне нерівність ентропії без обмежень і, таким чином, можуть використовуватися без обмеження для деяких проблем, коли інші схеми вимагають обмежувачів. (Це особливо корисно для суміжної оптимізації, оскільки робить дискретний суміжний більш репрезентативним для безперервних суміжних рівнянь.) Змішані методи FE для еліптичних задач використовують переривчасті базисні функції і після деяких виборів квадратури можуть бути переосмислені як стандартні методи кінцевих обсягів , дивіться цю відповідь$P_N P_M$

Концептуальні відмінності FEM та FVM такі ж тонкі, як і відмінності між деревом та сосною.

Якщо ви порівнюєте певну схему FEM з дискретизацією FVM, застосованою до певної проблеми, то можна говорити про принципові відмінності, які стають очевидними в різних підходах до реалізації та різних властивостях наближення (як @eded Brown виклав у своїй відповіді).

Але в цілому я б сказав, що FVM - це особливий випадок FEM, який використовує сітку комірок і кусочно постійні тестові функції. Це співвідношення також використовується для аналізу конвергенції FVM, як це можна знайти в книзі Grossmann, Roos & Stynes: Числове лікування часткових диференціальних рівнянь .

Основна відмінність - це просто сенс, який слід надати результатам. FDM прогнозує точкові значення будь-якого аспекту рішення. Інтерполяція між цими значеннями часто залишається уяві користувача. FVM прогнозує середні показники збережених змінних в межах конкретних контрольних томів. Отже, він передбачає інтегровані збережені змінні і може бути показано, що вони переходять до слабких (розривних) рішень. FEM дає набір дискретних значень, з яких можна однозначно вивести приблизне рішення скрізь, викликаючи набір базових функцій. Зазвичай, але не обов’язково, змінні, що беруть участь, консервативні. Можливе існування методів кінцевих різниць, які в певному сенсі є консервативними, згідно певного квадратурного правила.

Це питання визначення. Існує безліч варіацій усіх трьох методів. Не кожен метод є чисто одного типу, і деталі відрізняються між областями застосування. Дослідники, що вигадують новий метод, використовують ті інструменти, які допоможуть надати властивості, які вони шукають. Як ви, здається, виявили, важко знайти авторитетну дискусію, і мені було б важко її надати. Найкраща порада, яку я можу дати, - продовжувати читати, не чекаючи абсолютно чіткої відповіді, але надаючи довіру до речей, які мають для вас сенс.