Обчислити

Функція має сингулярність поблизу x = 0 . Ця особливість може бути знята, хоча: для x = 1 , слід мати f ( x ) = 1 , оскільки e x = ∑ k = 0 x $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$$x = 0$$x = 1$$f(x) = 1$ і таким чином (ex-1)/x=∑k=1x k -

$$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$$ Однак форма(ex-1)/xне тільки не визначена приx=0, вона також чисельно нестабільна в районі цієї точки; для того, щоб оцінитиf(x)для дуже малогоxчисельно, можна було б використовувати розширення Тейлора, тобто усікання згаданого ряду потужностей. $$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$$ $(e^x-1)/x$$x = 0$$f(x)$$x$

З : Чи має функція ім'я? Іншими словами, це поширена проблема?$f$

Питання : Хтось знає про бібліотеку C / C ++, яка гарно поводиться з цією ситуацією, тобто використовує розширення Тейлора відповідного ступеня поблизу 0, а інше представлення від нуля?

$\mathtt{expm1}$$e^x-1$$x=0$

Це примірник помилки скасування. Стандартна бібліотека C (станом на C99) включає функцію, яка називається, expm1що дозволяє уникнути цієї проблеми. Якщо ви використовуєте expm1(x) / xзамість цього (exp(x) - 1.0) / x, ви не відчуєте цього питання (див. Графік нижче).

Деталі та рішення цієї конкретної проблеми детально розглядаються у розділі 1.14.1 Точності та стійкості числових алгоритмів . Це ж рішення пояснюється також на сторінці 19 статті В. Кахана під назвою « Як непостійні оцінки безглуздих оцінок округлих обчислень з плаваючою точкою? . Фактична реалізація expm1бібліотеки GNU C відрізняється від підходу, описаного в посиланнях вище, і детально задокументована у вихідному коді .

Щоб відповісти на ваше перше запитання, ні, функція не має імені (принаймні, не відомого широко).

Як уже згадували інші, найкращий спосіб обчислити функцію - це обробляти кілька особливих випадків. Ось як будь-яка бібліотека обчислила б функцію.

1. Випадок 0: х = 0, повернення 1.
2. $|x|<\delta$$1+x/2$$\delta$double2e-85e-4
3. Справа інша: повернення expm1(x)/x.

З усіченою серією «Тейлор» ви можете бути більш витонченими та окремими справами, але це, мабуть, не варто. Насправді, не зовсім зрозуміло, що випадок 1 потрібно розглядати окремо, оскільки, як вказував k20, скасування є безпечним. Однак поводження з ним окремо дозволило б мені почуватись впевнено.

Я пам’ятаю, що це питання було задано раніше на цьому веб-сайті, і дивно, що відповідь полягає в тому, що вам потрібно лише домогтися точної рівності нулю. Помилки скасовуються біля нуля. У мене немає посилання.

Так, ця відповідь була абсолютно помилковою. Я не впевнений, чому це було так схвалено, мабуть, тому, що це було заявлено так авторитетно. Я знайшов посилання, яке я мав на увазі. Це було на математичній зміні stackexhange тут , а не на scicomp stackexchange. expm1-Безкоштовно формула скасування помилки визначається у відповідь по JM і використовує u = exp(x)перетворення.

Щоб відповісти на перше запитання та надати (мабуть, чисельно неефективний) метод для другого, зауважте, що це зворотна функція утворення чисел Бернуллі .