Чи є програмне забезпечення з кінцевими елементами, яке обробляє більше п'яти вимірів?

Я початківець з FE. Моє застосування - це ціноутворення фінансових деривативів, де простір є п’ятимірним. Отже, додавши час, проблема має шість вимірів.

Я спробував озирнутися (Fenics, escript, deal.II, ...), але я розумію, що це програмне забезпечення обмежене 3 + 1 (3d-пробіл + 1-й час). Це правильно?

Моєю цільовою мовою є Python або C ++.

Опис своєї проблеми
Я хотів би оцінити інвестиційний продукт, де кожен місяць інвестор має свободу реінвестирувати чи ні. Я хотів би зробити це зі стохастичною мінливістю, стохастичною процентною ставкою та стохастичною смертністю.
Стохастичні PDE виглядають таким чином Де - часова залежна константа, пов'язана з ціною акцій , а

$$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$$ $\mu^S_t$$S$$B^S_t$є самостійним процесом Леві , який створює шум в ціні акцій . Аналогічно для інших величин: - залежна від часу величина, пов'язана з мінливістю . Нехай$S$$\nu^\sigma_t$$\sigma$
$C_\tau$ позначає допустимі інвестиції в момент часу . Проблема стохастичного управління виглядає як V τ = m a x { c ∈ C τ : P ( смерть ) E ( r τ f ( S τ + 1 ) ) $\tau$ Вищезазначені PDE є безперервними, але значення продукту V τ вирішується лише за попередньо визначені-рази, скажімо, щомісяця. $$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$$ $V_\tau$$\tau$

Я думаю, Монте-Карло завжди може змусити мою проблему, але це дуже повільно.

Детермінована форма стохастичних PDE
Для цієї частини припустимо, що значення параметра визначається на природний час , а не шрифт Times, з інвестицій в момент часу . Визначте диференціальний оператор де залежна від часу константа

$$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$$ $t$$\tau$$c_t$$t$
$$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$$ $\{\mu^S_t,\ldots\}$ігноруються. Потім детермінований PDE - який може адаптуватися до оптимальної задачі управління в -čas . $$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$$ $\tau$

Якщо припустити, що ви хочете розв’язати рівняння Блек-Шоулза або варіант для портфеля з 5 активів, то у вас дійсно є 5 просторових плюс один часовий вимір. Я не знаю жодного пакету FEM, який міг би це зробити вгорі голови (справа. Я не можу це легко зробити, але дивіться нижче), але я думаю, що я пам’ятаю, що деякі люди з групи Кріса Шваба в ETH Цюріх вирішили таке проблеми з використанням рідких сіток. Можливо, вам пощастить оглянути його публікації.

Є й інші рівняння, які мають додаткові розміри. Одним із прикладів є рівняння передачі випромінювання, яке має 3 простору + 1 час + 2 кутових + 1 енергетичний вимір. Як це вирішується, як правило, дискретизувати тривимірний простір, як зазвичай, потім дискретизувати кутові та енергетичні розміри на окремих 2-х та 1-мірних сітках, і в кожній вузловій точці просторової сітки просто є безліч змінних (по одній для кожного кожен вузол кутової сітки перевищує кількість вузлів в енергетичній сітці). Ми використовуємо цю схему в реалізаціях deal.II успішно. Це має сенс для рівняння передачі випромінювання, і воно може бути емульоване для вашого рівняння, навіть якщо воно там не є природним.

DUNE, середовище розподіленого та уніфікованого чисел http://www.dune-project.org , містить деякі структуровані сітки довільного виміру (SGrid та Yaspgrid), див . Особливості DUNE . В даний час існує гілка, яка перетворює yaspgrid, одну з перерахованих вище сіток, в сітку тензорних продуктів, якщо це цікавить. З моменту випуску 2.0 (поточний - 2.2.1, а 2.3 - скоро), у нас є опорні елементи для різних методів кінцевих елементів, які підтримують довільні розміри. Тому слід встановлювати дискретизацію кінцевих елементів довільної розмірності, наприклад, модуль дискретизації dune-pdelab . Хоча це може не тестуватися часто.

Сказавши це, все ще існує прокляття розмірності, як вказував Вольфганг.

Для отримання додаткової інформації я пересилаю вас до списків розсилки DUNE .

Гаразд, так виглядає те, що у вас є зв'язаний набір ODE, оскільки, наскільки я можу сказати, існують лише похідні щодо часу, і ніяких похідних щодо чого-небудь іншого. Існує досить багато пакетів для вирішення систем ODE довільного виміру (Matlab має подібні речі ode45). Щодо Python, подивіться на це питання, щоб отримати кілька пропозицій. Нарешті, є старий код Fortran на netlib, який можна зв'язати з C ++ досить легко (простота використання - інша справа). Напевно, є кращі альтернативи там, бо минув час, коли я заглянув (інші повинні задзвонити).