Застосування граничних умов Діріхле до рівняння Пуассона методом кінцевих обсягів

Мені хотілося б знати, як зазвичай застосовуються умови Діріхле при використанні методу кінцевих обсягів на нерівномірній сітці, орієнтованій на комірки,

Моя поточна реалізація просто нав'язує граничну умову мого фіксації значення першої комірки,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

де є змінним розчином і г Д ( х L ) є граничним значенням умови Діріхле на LHS домену ( NB х L ≡ х 1 / 2 ). Однак це невірно , так як гранична умова слід зафіксувати значення осередки особи НЕ значення з комірки самого. Що я дійсно повинен застосувати, це$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Наприклад, давайте розв’яжемо рівняння Пуассона,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

з початковою умовою та граничними умовами,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(де - гранична умова Неймана з правого боку).$g_N(x_R)$

Зверніть увагу, як числове рішення зафіксувало значення змінної комірки до граничного значення умови ( ) у лівій частині. Це впливає на зміщення всього рішення вгору. Ефект можна звести до мінімуму, використовуючи велику кількість точок сітки, але це не є гарним рішенням проблеми.$g_D(x_L)=0$

Питання

Якими способами застосовуються граничні умови Діріхле при використанні методу кінцевих обсягів? Я вважаю , мені потрібно , щоб зафіксувати значення інтерполяції або екстраполяції , використовуючи φ 0 (точку примари) або φ 2 таким чином, що пряма лінія , що проходить через ці точки , має необхідне значення при х L . Чи можете ви надати якісь вказівки чи приклад того, як це зробити для нерівномірної сітки, орієнтованої на клітинку?$\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

Оновлення

Ось моя спроба використовувати підхід до клітини-примари, який ви запропонували, чи виглядає це розумно?

Рівняння для комірки дорівнює (де F являє собою потік ϕ ),$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Нам потрібно записати в умовах граничного стану, використовуючи привид ячейки Ω 0 ,$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Але нам, зрештою, потрібно усунути член рівняння з рівняння. Для цього ми пишемо друге рівняння, яке є лінійною інтерполяцією від центру комірки Ω 0 до центру комірки Ω 1 . Зручно ця лінія проходить через x L , тому ось як умови Діріхле входять у дискретизацію (оскільки значення в цій точці просто g D ( x L ) ),$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Комбінуючи рівняння 1 і 2, ми можемо виключити і знайти вираз для F L в термінах ϕ 1 і g D ( x L ) ,$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Припускаючи, що ми вільні у виборі обсягу примарної клітини, ми можемо задати ,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Це можна спростити далі, тому що якщо комірки і Ω 1 однакові за обсягом, то ми можемо встановити h - → h 1, нарешті, даючи,$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Однак цей підхід відновив нестабільне визначення, тому я не надто впевнений, як діяти? Чи я неправильно інтерпретував вашу пораду (@Jan)? Дивне те, що, здається, працює, дивіться нижче,

Дивіться нижче, це працює,

В аналізі стійкості дискретизацій FVM для еліптичних проблем при Діріхле BC, центральне припущення полягає в тому, що внутрішні клітини, де ви заявляєте PDE, не мають перетину з кордоном, тобто якщо розглядається як набір у R n - 1, якщо ваш домен Ω ⊂ R n , пор., Наприклад, книга [Grossmann & Roos, с. 92]

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Таким чином, якщо у вашій установці, підхід

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Стабільність та конвергенція (першого порядку в дискретних максимальних нормах) для проблеми Пуассона була доведена Grossmann & Roos для сіток, з чіткими граничними осередками з їх "центрами" на фактичній межі, як показано на моєму кресленні для 1D випадку.

Тут диференціальний коефіцієнт на інтерфейсі наближається прямолінійно.

Я б сказав, що примарні клітини - це загальний підхід через дві причини.

• Вони імітують стабільну ситуацію, описану на моєму малюнку, але з інтерпольованою граничною умовою
• Вони просто прикріплені до фізичної межі. Таким чином, можна використовувати тріангуляцію домену, що також є вигідним, оскільки часто є також природні БЦ, які безпосередньо накладаються на інтерфейс [ Grossmann & Roos , с. 101].

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Тут ви знайдете, чому кінцеві об'єми часто не використовуються для еліптичних рівнянь, для яких створюються умови Діріхле. Вони використовуються для законів збереження, де більш природні умови констатуються у вигляді потоків.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

Тепер питання полягає в тому, як ви наближаєтесь $(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Звичайно, одне, що також потрібно перевірити, - це стабільність вашої дискреційності з наближенням другого порядку на кордоні. Нагорі голови я не знаю, чи буде вона стабільною у поєднанні з орієнтованим наближенням другого порядку у внутрішніх приміщеннях. Аналіз стабільності матриці скаже вам точно. (Я практично впевнений, що наближення першого порядку на кордоні буде стабільним.)

Ви згадуєте можливість використання привидних точок. Це призводить до проблеми, яку вам потрібно екстраполювати з інтер'єру в точку привидів та використати bc у цьому процесі. Я підозрюю, але не "довів" це, що принаймні деякі методи лікування привидів еквівалентні використанню виду, який я описав вище.

Сподіваюсь, це трохи допомагає.