Суцільна механіка з кінцевими відмінностями: як поводитися з «кутовими вузлами»?

У мене виникає питання щодо кодування граничних умов твердої механіки (лінійна пружність). У спеціальному випадку мені доводиться використовувати кінцеві відмінності (3D). Я дуже новачок у цій темі, тому, можливо, деякі з наступних питань можуть бути дуже основними.

Щоб призвести до моєї конкретної проблеми, перш за все я хочу показати, що я вже реалізував (Щоб це було зрозуміло, я буду використовувати лише 2D).

1.) У мене є така дискретизація $div(\sigma) = 0$ , показуючи першу складову розбіжності $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Я використовую нестандартну сітку, тому Ux і Uy визначаються в одному місці.

2.) Наступним кроком було обробка меж, де я використовую «примарні вузли». Відповідно до $\sigma \bullet n = t^*$ , де $t^*$ - напруження на межі.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Я думаю, що до цих пір всі мої кроки здаються логічними, якщо ні, будь ласка, виправте мене . Але тепер є також "кутові вузли", де я не маю поняття, як з ними поводитися.

$div(\sigma) = 0$

Тож моє запитання - який правильний спосіб поводження з цими «кутовими вузлами»? Я радий кожній ідеї.

У мене були подібні проблеми з кутовими граничними умовами, особливо при вирішенні проблем структурної пластини з рівномірним прикладеним поперечним тиском. Зокрема, якщо хтось намагається отримати навантаження на зсув по краях (включаючи кути). Зсувні навантаження - це функція ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Використовуючи схему центральної різниці, це обумовлює необхідність вузла "привид", який є діагональним до кутового вузла, щоб визначити цю похідну. Я не вірю, що усереднення на основі сусідніх вузлів є доцільним. Що я зробив, це використовувати момент скручування Mxy, який я обчислював у кутовому вузлі, і прирівнював його до кінцевої різниці "молекули" для моменту скручування як функції переміщень. Оскільки я вже знав зміщення всіх інших сусідніх вузлів (виходячи з граничних умов уздовж країв пластини), вирішити цей «хитрий» кутовий вузол було простою справою. Я сподіваюся, що це допомагає.

Можливо, ви намагаєтеся вирішити систему рівнянь, яка не має унікального рішення. Уявіть, що у вас є купа вузлів, з'єднаних пружинами, що плавають у просторі, і ви хочете знайти положення рівноваги кожного вузла. Якщо система не закріплена на чомусь фіксованому (або не застосовується сила), існує багато можливих рішень. Будь-яке одне рішення завжди можна перекласти або повернути, і це все ще є рішенням. Ви спробували виправити зміщення в одному кутовому вузлі, щоб усунути переклад, і виправити одне зміщення в іншому куті, щоб усунути обертання?

Я колись спробував такий підхід виправити одні вузли та налаштувати нормальні сили на інших, але, здавалося, фокусував велику кількість сили на окремих прикордонних вузлах, в результаті чого з'явилася нестабільність. Що закінчилося роботою, це не намагатися прив’язати лише кілька вузлів, а прив’язати всі вузли відносно однорідної штами. По суті, ви напружуєте всю систему однорідно, але потім включаєте однорідний компонент у локальне визначення деформації на кожному вузлі, тому це не вносить додаткової еластичної енергії. Більше про це можна прочитати в цій статті та цитованих посиланнях: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Ця проблема нестабільності, ймовірно, є вагомою причиною вибору обмежених елементів для проблем механіки, коли це можливо.