Як я екстраполюю 1D-сигнал?

У мене є сигнал деякої довжини, скажімо, 1000 зразків. Я хотів би поширити цей сигнал на 5000 зразків, відібраних з тією ж швидкістю, що й оригінал (тобто я хочу передбачити, який би сигнал був, якби я продовжував вибірку його протягом більш тривалого періоду часу). Сигнал складається з декількох синусоїдальних компонентів, доданих разом.

Спочатку до мене прийшов метод взяти весь FFT і розширити його, але це залишає дуже сильну розрив у кадрі 1001. Я також розглядав лише використання частини спектру біля піків, і хоча це здається дещо покращити сигнал, мені не здається, що фаза гарантована правильно. Який найкращий спосіб розширення цього сигналу?

Ось деякий код MATLAB, що показує ідеалізований метод того, що я хочу. Звичайно, я заздалегідь не знаю, що є рівно 3 синусоїдальні компоненти, а також їх точна фаза та частота. Я хочу переконатися, що функція є безперервною, щоб не було стрибка під час переміщення до точки 501,

vals = 1:50;
signal = 100+5*sin(vals/3.7+.3)+3*sin(vals/1.3+.1)+2*sin(vals/34.7+.7); % This is the measured signal
% Note, the real signal will have noise and not be known exactly.
output_vals = 1:200;
output_signal = 100+5*sin(output_vals/3.7+.3)+3*sin(output_vals/1.3+.1)+2*sin(output_vals/34.7+.7); % This is the output signal

figure;
plot(output_signal);
hold all;
plot(signal);

В основному, з огляду на зелену лінію, я хочу знайти синю лінію.

Залежно від вихідного матеріалу, метод спектральної інтерполяції на основі DCT, описаний у наступній роботі, виглядає перспективним:

lk, HG, Güler S. "Перетворення сигналів та інтерполяція на основі модифікованого синтезу DCT" , Цифрова обробка сигналів, Article in Press, 2011.

Ось одна з цифр із статті, що показує приклад інтерполяції:

Застосування методики для відновлення втрачених сегментів ( наприклад, 4.2. Синтез періодів втрачених тонів ), ймовірно, є найбільш актуальним для екстраполяції. Іншими словами, візьміть фрагмент наявного вихідного матеріалу, зробіть вигляд, що між краєм та вибраним вами вибраним сегментом є загублений сегмент, а потім "реконструюйте" частину "відсутньої" (і, можливо, відкиньте частину, яку ви використали наприкінці). Здається, що навіть більш просте застосування методики спрацювало б безперешкодно закручувати вихідний матеріал ( наприклад, 3.1. Інтерполяція спектральної амплітуди ).

Я думаю, що лінійне прогностичне кодування (інакше відоме як авторегресивне ковзаюче середнє ) - це те, що ви шукаєте. LPC екстраполює часовий ряд, спочатку пристосовуючи лінійну модель до часового ряду, в якому кожен зразок вважається лінійною комбінацією попередніх вибірок. Після пристосування даної моделі до існуючого часового ряду можна продовжити екстраполяцію подальших значень, зберігаючи нерухомий (?) Спектр потужності.

Ось невеликий приклад в Matlab, використовуючи lpcфункцію для оцінки коефіцієнтів LPC.

N = 150;    % Order of LPC auto-regressive model
P = 500;    % Number of samples in the extrapolated time series
M = 150;    % Point at which to start predicting

t = 1:P;

x = 5*sin(t/3.7+.3)+3*sin(t/1.3+.1)+2*sin(t/34.7+.7); %This is the measured signal

a = lpc(x, N);

y = zeros(1, P);

% fill in the known part of the time series
y(1:M) = x(1:M);

% in reality, you would use `filter` instead of the for-loop
for ii=(M+1):P      
    y(ii) = -sum(a(2:end) .* y((ii-1):-1:(ii-N)));
end

plot(t, x, t, y);
l = line(M*[1 1], get(gca, 'ylim'));
set(l, 'color', [0,0,0]);
legend('actual signal', 'extrapolated signal', 'start of extrapolation');

Звичайно, у реальному коді ви б використовували filterдля здійснення екстраполяції, використовуючи коефіцієнти LPC aяк фільтр IIR та попередньо завантажуючи відомі значення часових рядів у стан фільтра; щось на зразок цього:

% Run the initial timeseries through the filter to get the filter state 
[~, zf] = filter(-[0 a(2:end)], 1, x(1:M));     

% Now use the filter as an IIR to extrapolate
y((M+1):P) = filter([0 0], -a, zeros(1, P-M), zf); 

Ось вихід:

Це робить розумну роботу, хоча прогноз з певних причин відмирає з часом.

Я насправді мало знаю про моделі AR, і мені також цікаво дізнатись більше.

-

EDIT: @china і @Emre вірні, метод Burg виглядає набагато краще, ніж LPC. Просто шляхом зміни lpcв arburgв наведеному вище коді дає наступні результати:

Код доступний тут: https://gist.github.com/2843661

1-D 'Екстраполяція' досить проста, використовуючи метод BURG для оцінки коефіцієнтів LP. Після того, як коефіцієнти LP будуть доступні, можна легко обчислити зразки часу, застосувавши фільтр. Вибірки, які прогнозуються за допомогою Burg's, - це наступні вибірки вашого часового відрізка.

Якщо ви повністю впевнені, що в сигналі є лише кілька частотних компонентів, ви можете спробувати алгоритм MUSIC , щоб дізнатися, які частоти містяться у вашому сигналі, і спробувати працювати звідти. Я не зовсім впевнений, що це може змусити себе працювати ідеально.

Крім того, оскільки ваші дані повністю детерміновані, ви можете спробувати створити якийсь нелінійний предиктор, тренувати його за допомогою наявного набору даних і дозволяти екстраполювати решту.

Загалом це проблема екстраполяції, чи не хочете ви від Google щось на зразок екстраполяції Фур'є .