Чому виникає випромінювання спектра у FFT?

Я спробував гуглінг та вікіпедію, але відповіді не отримав, окрім "це тому, що частота вхідного сигналу сидить між двома бункерами".

Я розумію, що це причина, але те, що я не можу зрозуміти, це те, чому витік, здається, поширюється на кілька сусідніх бункерів, а не лише на один сусідній контейнер.

Щоб проілюструвати те, про що я говорю, ось деякі імітовані дані (код в кінці публікації):

Вище - спектр FFT (нанесений на логарифмічну шкалу) синусоїди частотою 10. Частота вибірки одна, а кількість зразків - 100. Графік зміщений FFT. У ящику 10 явно лише пік, а решта - в порядку числової помилки, або приблизно.

Це спектр частот на генерованій частоті 10,1. Зрозуміло, що "витік" в більше сміттєвих контейнерів, ніж просто безпосередньо сусідній контейнер.

Це графік з частотою 10,5.

Запитання: Чому існує цей витік і чому він поширюється на всі інші бункери, а не на безпосередньо сусідній контейнер?

---

Код для всіх, хто зацікавлений (код Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

Я змінив xFreqзначення з 10.0на 10.5тощо.

FFT має обмежену довжину і, таким чином, являє собою прямокутне вікно за замовчуванням у потоці даних. Вікно у часовій області призводить до згортання частотної області з перетворенням вікна. Зауважимо, що перетворення прямокутного вікна - це функція Sinc (sin (x) / x), яка має нескінченну ширину. Це не просто 2 бункери в ширину. Таким чином, пульсації функції Sinc виявляться як "протікання" далеко не будь-якого спектрального піку, який не ідеально періодичний у довжину FFT.

На малюнку нижче показана частина частотного відгуку функції sinc. Коли тон відцентрований на одній з бункерів, всі інші точки вишикуються нулями частотної характеристики. Якщо він не зосереджений на відрізці, то це як зсув всієї частотної характеристики, що призводить до того, що інші відсіки потрапляють на ненульові частини частотної реакції.

Ще один спосіб поглянути на це - це те, що FFT - це лише фільтр-банк, де кожен піддон смуги фільтрів має безліч пульсацій, і, безумовно, не є нескінченним при ослабленні більш ніж 1 біт від центральної частоти. Деякі вікна (фон Ханн тощо), крім прямокутних, мають нижню смугу зупинки, що є однією з причин їх популярного використання.

hotpaw2Відповідь хороша, але я хотів би трохи детальніше user5133розглянути коментар:

Дякуємо, що НЕ пояснили витоку, сказавши: "FFT передбачає, що послідовність його введення періодична". Таке дурне поняття "припущена періодичність", на жаль, занадто часто повторюється в літературі ДСП

і в той же час відповісти на питання також. Зауважте, що я зауважую експерта в цій галузі --- не соромтесь коментувати, виправляти чи підтверджувати.

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

На практиці вимірювані сигнали є кінцевими ; Позначимо довжину по . Кінцевий сигнал можна продовжити на N -періодичність над $N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ що відповідає дискретним частотам $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$

Але перетворення Фур'є продукту - це згортання перетворень Фур'є:

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

$\text{sinc}$