Коли використовувати DTFT проти DFT (та їх обертання) в аналізі?

У багатьох моїх читаннях, коли якийсь автор говорить про роботу в частотній (перетворювальній) області (цифрового сигналу), вони часто приймають DFT або DTFT (і звичайно їх відповідні звороти). Різні автори прагнуть працювати з тими чи іншими.

Я не зміг реально встановити конкретний зразок щодо цього. У цьому, чому б ви обирали DTFT над DFT або навпаки, пояснюючи алгоритми? Де один допомагає тобі над іншим?

fft fourier-transform dft

— TheGrapeBeyond
джерело

DTFT можна використовувати, коли зразки не однаково розподілені за часом, DFT не може.

— Діліп Сарват

@DilipSarwate Ahh хороший момент.

— TheGrapeBeyond

Відповіді:

DFT і DTFT очевидно схожі, оскільки вони обидва генерують фур'є-спектр часових дискретних сигналів. Однак, хоча DTFT визначений для обробки нескінченно довгого сигналу (сума від-нескінченності до нескінченності), DFT визначається для обробки періодичного сигналу (періодична частина має кінцеву довжину).

Ми знаємо, що кількість відряджень частоти у вашому спектрі завжди дорівнює кількості оброблюваних зразків, тому це також дає різницю в спектрах, які вони виробляють: спектр DFT є дискретним, тоді як спектр DTFT є безперервним (але обидва періодичні з щодо частоти Найквіста).

Оскільки неможливо обробити нескінченну кількість зразків, DTFT має менше значення для фактичної обчислювальної обробки; він в основному існує в аналітичних цілях.

Однак DFT, з його кінцевою довжиною вхідного вектора, цілком підходить для обробки. Той факт, що вхідний сигнал повинен бути витримкою періодичного сигналу, однак, ігнорується більшість часу: Коли ви перетворите DFT-спектр назад у часову область, ви отримаєте той самий сигнал, який ви обчислили спектром у перше місце.

Тож для обчислень це не має значення, ви повинні зауважити, що те, що ви там бачите, - це не власне спектр вашого сигналу . Це спектр теоретичного сигналу, який ви отримали, якби періодично повторювали вхідний вектор.

Тому я б припускав, що в літературі, яку ви згадували, кожен раз, коли важливо, щоб спектр, з яким ви працюєте, був насправді спектром і не зважаючи на обчислювальну сторону речей, автор обрав би DTFT.

— Нілс Вернер
джерело

Отже, якщо сигнал ніколи реально не має нескінченної довжини, то навіщо тоді аналізувати, використовуючи DTFT, у багатьох документах, які я бачу? Чи є якась легкість або щось, що йде з цим?

— TheGrapeBeyond

Більше математичної правильності, ніж простоти. Тобто, коли ви пишете математичний доказ для неперіодичних сигналів, у вас немає іншого вибору, окрім як вважати, що ваш сигнал має нескінченну довжину, тому що так працює трансформація Фур'є (як дискретна, так і безперервна).

— Нілс Вернер

Я не намагаюся бути важким, але якщо ви завжди будете вважати, що ваш сигнал періодичний, а DTFT є більш математично правильним, то навіщо тоді використовувати DFT взагалі для аналізу? Навіщо використовувати одне за іншим - це те, що я намагаюся отримати, аналізуючи алгоритми?

— TheGrapeBeyond

Коли ви хочете подумати про перетворення обмежених часом сигналів, вам слід думати про те, що ваш нескінченний сигнал помножений на "функцію вікна", ефективно обрізаючи ту частину, що вас цікавить. Найпростішим випадком буде прямокутна функція; однак цю функцію вікна потрібно також перетворити, а потім перетворити на сигнал. Це викликає розмазування і так званий ефект протікання.

— Нілс Вернер

Коли використовувати DFT в аналізі. Я здогадуюсь, що, виходячи з математики, ви хочете використовувати DTFT, оскільки вам не потрібно обліковувати артефакти, і як тільки ви зійдете на програмний рівень, ви перейдете на DFT зі всіма проблемами, які він приносить до таблиці.

— Нілс Вернер

DTFT використовується тоді, коли математика для доведення певної точки простіша (економить на папері та / або крейді), коли приймається нескінченна кількість зразків. Це означає, що це насправді марно в реальному світі (ви будете мертві задовго до того, як знайдете у вас достатньо зразків).

DFT - це коли ви вибираєте корисну кінцеву кількість зразків, з якими потрібно працювати (даючи вам приємну квадратну матрицю з кінцевим розміром, помножити на точний еквівалент), незалежно від того, чи є вони періодичними (якщо припустити, що періодичність довжини кадру є ще однією оманою у свідомості деяких людей щоб знову зробити математику більш простежуваною). Таким чином, використання DFT зазвичай має на увазі вікно (прямокутне, якщо не щось інше), яке не є необхідним у DTFT. Це вікно має інколи неприємні артефакти, а також очевидну втрату інформації про сигнал поза вікном, що є недоліком DFT.

— гаряча лапа2
джерело

+1, але чи можете ви детальніше зупинитися на тому, чому неявна періодичність DFT є оманою?

— Дев

Припущення суперечить фактичним даним поза вікном DFT у багатьох поширених цілях (аудіо тощо)

— hotpaw2

Я підтримав вас, але чому ви кажете, що DFT припускає, що дані є періодичними? Якщо я задаю це питання, чи можете ви на нього відповісти?

— TheGrapeBeyond

Може бути хорошим питанням для сайтів обміну математики, англійської мови, психології та філософії. Антропоморфізуючі функції оператора можуть бути цікавою поведінкою людини.

— hotpaw2

-2

$-\infty$ $+\infty$

— Аюші
джерело