Оцініть коефіцієнти серії Тейлора із зразків функції

10

Скажімо, у мене є вимірювання функції , відібраної в з деяким шумом, який можна було б наблизити до розширення серії Тейлора. Чи є прийнятим способом оцінки коефіцієнтів для цього розширення з моїх вимірювань? $y = y(x)$ $x_i$

Я міг би прилаштувати дані до многочлена, але це не зовсім правильно, тому що для серії Тейлора наближення повинно бути кращим, чим ближче до центральної точки, скажімо, x = 0. Просто встановлення многочлена ставиться до кожної точки однаково.

Я також міг оцінити різні порядки похідних в моєму пункті розширення, але тоді мені потрібно прийняти рішення про те, які фільтри для диференціювання використовувати і скільки коефіцієнтів фільтра для кожного. Чи повинні фільтри для різних похідних якось поєднуватися разом?

Так хтось знає про встановлені для цього методи? Пояснення або посилання на документи будуть вдячні.

ПОЯСНЕННЯ

У відповідь на коментар нижче, моя вибірка - це прямокутне вікно з нескінченної функції, яке не обов'язково обмежене смугою, але не має сильних високочастотних компонентів. Щоб бути більш конкретним, я вимірюю дисперсію оцінювача (вимірювання зміщення в медичному ультразвуковому сигналі) як функцію від параметра оцінювача (рівня деформації або деформації основної тканини). У мене є теоретичний ряд Тейлора для дисперсії як функції деформації, і я хотів би порівняти її з тим, що отримую від моделювання.

Подібним прикладом іграшки може бути: скажімо, у вас є така функція, як ln (x), вибіркова з інтервалами в x з додаванням деякого шуму. Ви не знаєте, що це насправді функція, і ви хочете оцінити її ряд Тейлора приблизно x = 5. Таким чином, функція є гладкою і повільно змінюється для регіону навколо точки, яка вас цікавить (скажімо, 2 <x <8), але не обов'язково приємна за межами регіону.

Відповіді були корисними, і певний шлях поліномів з найменшими квадратами - це, мабуть, шлях. Що, однак, зробить оцінну серію Тейлора відмінною від звичайної поліномічної підгонки, це те, що ви повинні мати можливість стригти терміни вищого порядку, а поліном все ще наближатись до початкової функції, лише в меншому діапазоні щодо початкової точки.

Тож, можливо, підходом було б виконати лінійну поліномію, використовуючи лише дані, близькі до початкової точки, з наступним квадратичним підходом з трохи більше даних, кубічним з використанням трохи більше цього тощо.

noise estimators approximation

— Метт
джерело

Деякі запитання (які можуть бути, а можуть і не бути актуальними): Під вибіркою ви маєте на увазі, що функція / була обмежена смугою нижче деякої частоти Fs / 2? Чи є ваші зразки прямокутним вікном нескінченної функції, функцією, що повторюється, або повною функцією?

— hotpaw2

Як указував Діліп у своїй відповіді, використання розширення серії Тейлора вимагає, щоб ви мали знання про похідну функцію у всіх точках вибірки. Я припускаю, що ви можете використати свій теоретичний вираз для похідних , але це дещо зменшує корисність використання незалежного моделювання для підтвердження вашої теорії. Щоб найкраще наслідувати поведінку серії Тейлора стосовно термінів вищого порядку, може бути корисним такий підхід, як те, що ви запропонували, використовуючи різні порядки поліномічних припадків.

y (x)

$y(x)$

— Джейсон R

8

Замість точного підбору поліномів ви можете використати підгонку з найменшими квадратами , яка знайде поліном заданого порядку, який мінімізує загальну помилку квадрата між парами fit та вимірюваної . Це може допомогти пом'якшити вплив шуму на припадки. $(x_i,y_i)$

Зазначені вимірювання функції в значенні домену ( ), вибере поліном порядку (якщо , то ви до точного поліноміальне пристосування, оскільки точок однозначно визначають поліном го порядку). Потім встановіть систему рівнянь, лінійних у потрібних поліноміальних коефіцієнтах : $y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

Проблему з найменшими квадратами можна вирішити, розташувавши вимірювання у матрично-векторній формі:

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

Рішення з найменшими квадратами генерує вектор коефіцієнтів поліномів що мінімізує загальну помилку квадрата у вищевказаній лінійній системі. Рішення можна обчислити як: $\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

Варто зазначити, що матриця також відома як псевдоінверсія матриці . Потім можна використовувати векторний коефіцієнт полінома найменших квадратів для оцінки полінома за будь-якими іншими значеннями які ви бажаєте. $(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— Джейсон Р
джерело

1

Що стосується зрівноважених абсцис, це не відрізняється від застосування згладжування Савіцького-Голая на ваших даних.

Плюс 1 за гарну відповідь. LSE дійсно дуже всюдисущий.

— Tarin Ziyaee

6

На даний момент ігноруйте шум.

З огляду на балів де є різними числами, ви можете, як ви кажете, помістити поліном ступеня не більше через ці точки. Наприклад, інтерполяція Лагранжа - це стандартний метод для цього. Але вважається, що точки насправді знаходяться на кривій де не обов'язково є поліномом (наприклад, це може бути або і т. д.), і ви хочете знайти ряд Тейлора для цієї функції . Ну, розробляючи ряд Тейлора для поблизу $n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ , скажімо, вимагає знання значення , а також значень похідних при , тоді як все, що відомо, це значення при балах . Навіть якщо для деяких так що відомий, все одно необхідно оцінити для $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

Оцінка значення похідних функції при за її значеннями у вибраних точках є добре вивченою проблемою чисельного аналізу, і використовувані формули легко доступні. Те, що детально не описано, а точніше, що зовсім не згадується поблизу цих формул, - це те, що ці формули отримуються шляхом встановлення полінома до відомих точок та оцінки як . По-іншому, $g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

З точки з , ми можемо розробити ряд Тейлора для тільки до терміну ступеня , і усічений ряд Тейлора просто , поліном, який підходив до балів. $n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

Отже, що означає встановлення многочлена? Стандартна відповідність - це інтерполяція Лагранжа, яка добре працює, коли немає шуму, точки розташовані рівномірно, а - середнє значення . Якщо шум присутній, розміщення полінома градуса (детальніше див. У відповіді JasonR ) часто краще, і якщо ми хочемо підкреслити точність поблизу , зважений найменший- квадратики можуть бути використані. Зважування термінів помилки в точках поблизу на більше, ніж терміни помилки здалеку, змушує алгоритм мінімізації отримати ще кращу відповідність біля $x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ за рахунок біднішої точності далеко від . Звичайно, також слід захищати вибір функції зважування проти найсайєрів, які віддають перевагу іншому зважуванню (або не мають зважування). $0$

Приклад: Дано бали , формула інтерполяції Лагранжа дає де коефіцієнти і - "три" формули-точки "для першої та другої похідних, як наведено в таблиці 25.2" Посібника з математичних функцій " Абрамовіца та Стегуна , тобто формула інтерполяції Лагранжа є усіченим рядом Тейлора для функції такою, що . $3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— Діліп Сарват
джерело