Чому ми говоримо, що "нульова накладка насправді не збільшує роздільну здатність частоти"

Ось синусоїда частоти f = 236.4 Hz(вона становить 10 мілісекунд; вона має N=441точки зі швидкістю вибірки fs=44100Hz) та її DFT, без нульового прокладки :

Єдиний висновок, який ми можемо дати, дивлячись на DFT, це: "Частота приблизно 200 ГГц".

Ось сигнал і його DFT з великим нульовим накладенням :

Тепер ми можемо дати набагато більш точний висновок : "Уважно переглянувши максимум спектру, я можу оцінити частоту 236 Гц" (я збільшив масштаб і виявив, що максимум знаходиться поблизу 236).

Моє запитання: чому ми говоримо, що "нульова прокладка не збільшує роздільну здатність" ? (Я дуже часто бачив це речення, тоді вони кажуть "це лише додає інтерполяцію")

=> На моєму прикладі нульова накладка допомогла мені знайти правильну частоту з більш точним дозволом!

Резолюція має в цьому контексті дуже конкретне визначення. Це відноситься до вашої здатності вирішити дві окремі тони на сусідніх частотах. Ви збільшили швидкість вибірки вашої оцінки спектру, але ви не отримали жодної здатності розрізняти два тони, які можуть бути, наприклад, 236 Гц і 237 Гц. Натомість вони "розтопляться разом" у єдину крапку, незалежно від того, скільки нульових накладок ви застосовуєте.

Рішення для збільшення роздільної здатності - спостерігати за сигналом протягом більш тривалого періоду часу, а потім використовувати більший DFT. Це призведе до отримання головних часток, ширина яких обернено пропорційна розміру DFT, тому, якщо ви дотримуєтеся досить довго, ви можете фактично вирішити частоти декількох тонів, які знаходяться поруч один з одним.

-

Щоб побачити, як це відбувається, ось графік збільшеного FFT додавання двох сигналів: оригінального синусоїда та сигналу, який відрізняється за частотою від 0 до 100 Гц.

Тільки у напрямку різниці 100 ГГц ділянки (тут ліворуч) ви можете відрізнити (вирішити) два.

Код Scilab для створення сюжету нижче.

f = 236.4;
d = 10;
N=441;
fs=44100;
extra_padding = 10000; 

t=[0:1/fs:(d/1000-1/fs)]
ff = [0:(N+extra_padding-1)]*fs/(N+extra_padding);

x = sin(2*%pi*f*t);

XX = [];

for delta_f = [0:100];
    y = sin(2*%pi*(f+delta_f)*t);
    FFTX = abs(fft([x+y zeros(1,extra_padding)]));
    XX = [XX; FFTX];
end

mtlb_axis([0 1300 0 500])

figure(1);
clf
[XXX,YYY] = meshgrid(ff,0:100);
mesh(XXX(1:100,[50:90]),YYY(1:100,[50:90]),XX(1:100,[50:90]))

Термін "роздільна здатність" має численні значення, що може збити з пантелику людей, які намагаються спілкуватися при використанні двох різних значень.

В оптичному сенсі, щоб мати змогу вирішити дві чітко відокремлені точки (або дві сусідні вершини в спектрі) замість однієї розмитої краплі, нульове набивання не допоможе. Це значення, яке, швидше за все, використовується, коли заявляється, що прокладка з нуля не збільшує роздільну здатність.

Якщо вимога до роздільної здатності вимагає занурення (наприклад, мінімум на 3 дБ пониження) між спектральними піками, то роздільна здатність буде навіть нижчою, ніж відстань у FFT-бункері, наприклад, навіть не Fs / N, але 2X-3X, або більше, залежно від використовуваного вікна. Більш слабкою вимогою до роздільної здатності може бути лише інтервал частоти ортогональних векторів DFT, наприклад, Fs / N.

Що стосується точки побудови графіку, так, нульова накладка надасть вам більше балів на графік, як у роздільній здатності DPI (точки точки на дюйм). Це може полегшити виділення екстремуму очним яблуком. Однак це ті самі пункти, які ви отримали, зробивши дуже якісну інтерполяцію сюжету (синполяція Sinc) без будь-якої нульової прокладки, тому вони дійсно не додають жодної інформації, яка не могла б бути обчислена в іншому випадку без нульової прокладки.

З точки зору відстеження тону, параболічна чи синполяційна інтерполяція (інтерполяція між відмітками результатів FFT) віконного результату FFT, що не має нульових розмірів, може дати вам такий же хороший результат, як і більш обчислювально інтенсивніший довший графік FFT з нульовим накладом. Таким чином, нульове набивання дає вам "кращий" результат відстеження кроку, ніж ненульований та неінтерпольований вибір піку, але часто набагато менш ефективно, ніж просто використання інтерполяції.

Якщо ви додасте шум у свій приклад, але трохи менше, ніж сигнал, ви побачите, що пік, накладений нулем, може бути таким же неточним, як і ненульовий підбитий пік. Отже, у більш загальному випадку ви, можливо, не знайшли "правильну" частоту з більшою точністю, ніж раніше. Нульова накладка лише інтерполює неточний результат через шум, що ще одна причина, чому, як кажуть, не збільшує роздільну здатність.