Оптимальний фільтр без ISI

Враховуючи фільтр, який використовується для формування цифрового сигналу, , і враховуючи, що ми не хочемо, щоб комбінація фільтрів викликала будь-який ISI, який "відповідний" фільтр, максимізує SNR?$p(x)$$q(x)$

Відповідні фільтри використовуються в цифрових комунікаціях для максимального співвідношення сигнал / шум. Часто для формування сигналу використовується фільтр з піднятим корінсом косинуса, оскільки він обмежений у частотному просторі і той же фільтр може бути застосований до прийнятого сигналу для поліпшення співвідношення сигнал-шум (SNR), не викликаючи інтер-символ -інтерференція (ISI).

Однак якщо для формування сигналу використовується менш оптимальний фільтр, то за допомогою того ж фільтра в приймачі можна ввести ISI. Не відразу очевидно, який найкращий вибір фільтра на приймальному кінці.

Я розумію, що SNR максимізується максимізацією , тому я хочу досягти максимізації цього, задовольняючи обмеження, що фільтри не викликають ISI ( для , - ціле число, - ширина символу).$\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

Імовірно, це можна зробити, вирішивши рівняння Ейлера-Лагранжа з деякими множниками Лагранжа для обмежень. Чи є простіший шлях, чи я помиляюся, чи йду в неправильному напрямку?

У випадку лінійної модуляції на каналі AWGN з нескінченними символами (дуже поширений випадок) оптимальним підходом є справжнє використання фільтра, відповідного формі сигналу символу, тобто:

Використання відповідного фільтра забезпечує оптимальне співвідношення сигнал / шум на виході фільтра в кожен момент прийняття рішення. Це легко помітити, коли ви пам’ятаєте, що відповідна фільтр діє як ковзаючий перехресний корелятор між своїм вхідним сигналом та очікуваною формою хвилі символу, співвідносивши ці два можливі відставання. В оптимальних моментах прийняття рішення імпульсна характеристика фільтра (як правило, масштабується, щоб мати енергію одиниці) точно узгоджується з переданим символом, аналогічним умові нульового відставання в операції перехресної кореляції. У цей час значення вихід фільтра дорівнює кількості енергії в отриманому символі, масштабованому залежним від даних фактором (наприклад, для BPSK, відповідний фільтр виводить або ), плюс термін шуму.$E_s$$-E_s$

Енергія шуму на виході фільтра під час миттєвого відбору проб не залежить від форми часової області імпульсної реакції фільтра, лише сумарної енергії імпульсного відгуку (як було зазначено раніше, як правило, одиниці). Тому співвідношення сигнал / шум максимально збільшується за рахунок максимального збільшення енергії сигналу у виході фільтра в момент відбору проби. Вибравши фільтр приймача для відповідності формі символу, ми це зробили, оскільки форма хвилі символу має максимальну кореляцію з імпульсним сигналом фільтра, що має однакову форму. Таким чином, відповідний фільтр забезпечує максимальний SNR для випадку каналу AWGN.

Коли цей махровий рукопаш переможеться (ви, безумовно, можете досягти цього з більшою математичною суворістю, але я інженер, і це безкоштовна послуга; якщо ви хочете зануритися в деталі, перевірте будь-яку теорію цифрових комунікацій текст), ви можете подумати, що я забув, що ви запитали про неідеальний випадок ISI. Не бійтеся, бо я стверджую, що якщо ви знаєте передану форму імпульсу, відповідний фільтр все ще є оптимальним вибором для каналу AWGN.

Ключ: якщо ви знаєте реакцію фільтрів формування імпульсу та приймача та та останніх "небагатьох" переданих символів, ви можете обчислити, яким буде ISI, індукований цими попередніми символами, і враховувати це відповідно$p(x)$$q(x)$ ; це детермінована величина. Необхідна кількість потрібної історії символів пов'язана з кількістю наявного ISI, тобто скільки періодів символів розмазується каскадним відгуком фільтра.

Звичайно, ти зазвичай не знаєш з певністю, якими були попередні кілька символів; якщо ви це зробили, то, можливо, у вас буде достатньо високий SNR, що вашим ISI можна знехтувати. У більш цікавому випадку ви не можете зробити це припущення. Натомість застосовується підхід до виявлення послідовності з максимальною ймовірністю за допомогою алгоритму Вітербі. Цей процес називається вирівнюванням Вітербі , оскільки в цій моделі ви розглядаєте ISI, індукований формою імпульсу, як м'який ціннісний згортковий код, який застосовується до вашої сигналу передачі. Тривалість часу ISI в еквалайзері Вітербі визначає необхідну кількість станів алгоритму, аналогічну довжині обмеження у згортковому коді.

Цей підхід часто застосовується в системах, які мають неоптимальну форму імпульсу, яку ви зазначили; один помітний приклад - GSM (який використовує форму імпульсу Гаусса, яка простягається через кілька інтервалів символів). Одну чудову посилання на цю тему опублікував Sklar у 2003 році:

Б. Скляр, "Як я навчився любити шпалери", Журнал обробки сигналів IEEE, стор. 87-102, травень 2003 р.