Дискретна трансформація Фур'є

13

Я молодший школяр, який загалом захоплюється електронікою, програмуванням тощо. Нещодавно я дізнався про обробку сигналів.

На жаль, я ще не зробив багато обчислень (пробачте), тому я трохи нечіткий щодо речей.

Якби ви обчислювали DTFT сигналу, яка була б різниця між поданням або цього сигналу? $\sin$ $\cos$
Завдяки DTFT я розумію, що сигнал, який ви вводите, буде дискретним у часі, але як у світі ви можете досягти безперервного сигналу в частотній області?
Це призводить до мого другого питання, яке таке: чим корисний DTFT? Де він використовувався в більшості застосунків і чому?

Буду вдячний за будь-яку допомогу.

fourier-transform

— ElectroNerd
джерело

Для мого першого питання я б здогадався, що це лише 90 ° поза фазою. Однак я створив кілька графіків, які вказують на інше: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/… i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Відмінні запитання. Я створив відповідь на ці питання, особливо, коли вони стосуються того, як ДСП доводиться до уваги молоді. (Це вірно на рівні університету). Стріляйте мені електронний лист, і я можу показати вам деякі матеріали (занадто задіяні для публікації тут).

— Космічний

@Mohammad: Привіт, ти можеш поділитися цими матеріалами зі мною на abidrahman2@gmail.com?

— Абід Рахман К

7

Чудово, що ви зацікавлені в обробці сигналів на ранній стадії вашого навчального шляху.

Найкращий шлях до туди - прочитати кілька вступних книг на цю тему. Для початку роботи існує багато хороших та безкоштовних онлайн-ресурсів. [Зауважте, шановний редактор: хороші вступні книги можуть бути справді хорошою темою для "липкої"]. Я інколи використовую

Одне з найважливіших математичних понять, яке вам потрібно буде обіймати, - це «складні» цифри. Очевидно, що це неправильно, оскільки це насправді не так складно, і явно робить майже всю техніку математики набагато простішою. Ще один чудовий безкоштовний ресурс для всіх предметів, пов'язаних з математикою, - це http://www.khanacademy.org, і в цьому випадку спеціально http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Поверніться до вашого першого питання: Насправді є чотири різні аромати трансформації Фур'є: серія Фур'є (найімовірніше, що з'явиться у середній школі), трансформація Фур'є, дискретна трансформація Фур'є та дискретна серія Фур'є. Усі вони використовують поєднання як синуса, так і косинуса (або складного експоненціалу, що є по суті одне і те ж). Вам потрібно буде і те, і інше.

Скажімо, ви обчислили синусоїдичний і косинусовий коефіцієнти Фур'є вхідної синусоїди. (За певних умов) ви побачите, що всі коефіцієнти Фур'є будуть нульовими, крім одного косинуса та одного синусоїдального коефіцієнта. Однак залежно від фази вхідної синусоїди ці два числа будуть рухатися. Ви можете отримати [0.707 0.707], або [1 0], або [0 -1], або [-0.866 0.5] і т. Д. Ви побачите, що сума квадратів цих двох чисел завжди буде дорівнює 1, але фактична значення залежать від фази вхідної синусоїди.

Якщо ви хочете глибоко пірнати, спробуйте це: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Гільмар
джерело

Привіт Гільмар, дякую за відповідь! Я зробив досить багато складних чисел і мушу погодитися: вони відносно прості. Це добре чути. Після трохи заплутавшись, я обчислив величину вхідного сигналу sin та cos на DTFT і виявив, що амплітуда була однаковою і для гріха, і для cos. Особливо дякую за довідники, я зараз буду зайнятий деякий час.

— ElectroNerd

2

Ви можете переглянути матеріали, доступні через

Проект INFINITY: розширення інженерної освіти на основі обробки сигналів до аудиторії середньої школи

доступні тут

— Діліп Сарват
джерело

Це виглядає дуже цікаво; Я можу спробувати і порекомендувати його моїй школі.

— ElectroNerd

1

Дискретне перетворення Фур'є в часі DTFT приймає дискретний нескінченний сигнал як свій вхід, а його вихід у частотній області є безперервним і має період 2 * пі. З мого досвіду, на мій досвід, DFT (дискретна трансформація Фур’є) - це те, що використовується в практичних цілях. За певних умов легко показати, що DFT кінцевого неперіодичного сигналу - це не що інше, як зразки, розміщені у зразках DTFT. Загалом, якщо ми зануляємо нульову послідовність у часовій (або просторовій) області, ми отримуємо все більше і більше зразків DTFT.

Підсумок DFT є дуже корисним, і DFT можна розглядати як однаково розташовані зразки DTFT, щоб отримати більше зразків DTFT, що робить нульову колодку сигналу.

— пв.
джерело

Це має сенс: мені сказали, що чим довше ви будете вибірки у часовій області, тим точнішою буде роздільна здатність у частотній області, коли ви обчислите DTFT. Я зрозумів це за допомогою Python та matplotlib ( Sine + zero padding , DTFT з нульовими накладками. Це акуратний трюк.

— ElectroNerd

Я мушу сказати, що ви повинні бути обережними тут. Велике хибне уявлення полягає в тому, що ваш сигнал, що пропускає нуль, збільшує роздільну здатність частоти - це не так. Єдиний спосіб по-справжньому збільшити частотну роздільну здатність - мати більше даних - більше зразків часової області. Тепер, коли говориться, нульова накладка допомагає, якщо ви хочете переглянути свій частотний спектр з інтерпольованими точками між тим, що ви справді обчислили.

— Спейсі

1

Перш за все, це допомагає впорядкувати термінологію:

Функція у часовій області відома як сигнал .
Функція в частотній області відома як спектр .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

У цьому рівнянні a _n і b _n - реальна і уявна частини дискретного спектра відповідно. Тому, як бачите, перетворення Фур'є косинуса буде дійсним числом, а для синуса - уявним числом. T на інтегральних означає , що ми інтегруємо в протягом повного періоду сигналу. Це в першу чергу використовується в тому, що називається гармонічним аналізом, який я в основному використовував при аналізі аналогових схем з несинусоїдальними сигналами (квадратні хвилі, трикутні хвилі тощо), але що робити, якщо сигнал не періодичний? Це не працює, і ми повинні звернутися до перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є перетворює неперервний сигнал у безперервний спектр. На відміну від ряду Фур'є, перетворення Фур'є дозволяє перетворити неперіодичну функцію в спектр. Неперіодична функція завжди призводить до безперервного спектру.

Дискретна перетворення Фур'є досягає того ж результату, що і перетворення Фур'є, але працює на дискретному (цифровому) сигналі, а не на безперервному (аналоговому) сигналі. DTFT може генерувати безперервний спектр, тому що, як і раніше, неперіодичний сигнал завжди виробляє безперервний спектр - навіть якщо сам сигнал не є безперервним. Нескінченна кількість частот все ще буде присутній у сигналі, навіть якщо він дискретний.

Отже, щоб відповісти на ваше запитання, DTFT є, мабуть, найбільш корисним, оскільки він працює на цифрових сигналах, а тому дозволяє нам розробляти цифрові фільтри. Цифрові фільтри далекобільш ефективні, ніж аналогові. Вони набагато дешевші, набагато надійніші та значно простіші у проектуванні. DTFT використовується в декількох програмах. У верхній частині голови: синтезатори, звукові карти, звукозаписні пристрої, програми розпізнавання голосу та мови, біомедичні пристрої та кілька інших. У чистому вигляді DTFT використовується в основному для аналізу, але DFT, який приймає дискретний сигнал і видає дискретний спектр, запрограмований у більшості вищезазначених застосувань і є невід'ємною частиною обробки сигналів в інформатиці. Найпоширеніша реалізація DFT - швидка трансформація Фур'є. Це простий рекурсивний алгоритм, який можна знайти тут . Я сподіваюся, що це допомагає! Не соромтесь коментувати, якщо у вас є якісь питання.

— Зетта Суро
джерело

0

Як пв. зазначений DFT отримують шляхом вибірки DTFT у "Домен частот". Як ви можете знати, сигнал дискретного часу отримується шляхом вибірки сигналу безперервного часу. Однак, щоб повністю побудувати сигнал безперервного часу зі свого аналога дискретного часу, швидкість вибірки ОБОВ'ЯЗКОВО повинна бути більшою, ніж частота Найквіста. Щоб це сталося, сигнал безперервного часу повинен бути обмежений частотою.

Для DTFT та DFT історія якось перевернена. У вас є DTFT, який є безперервним у домені "Frequency". В основному ви не можете зберігати безперервний сигнал і обробляти його в комп'ютері. Рішення - відбір проб! Отже, ви берете вибірку з DTFT і викликаєте результат DFT. Однак, згідно з теоремою вибірки, щоб повністю реконструювати DTFT з DFT, аналог часової області DTFT ОБОВ'ЯЗКОВО повинен бути обмежений "часом". Ось чому доводиться використовувати віконце, перш ніж приймати DFT.

— Сина
джерело