Що означає "спектральний момент"?

10

Я порадився з всемогутніми оракулами google та wiki, але не можу знайти визначення для фрази "момент спектру".

Старий робочий текст, який я читаю, використовує його наступним чином, визначаючи кількість нульових перетинів за одиницю часу як наступне:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{м_{2}}{м_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Далі йде далі для визначення кількості екстремумів за одиницю часу, як задано:

N_{е} = \frac{1}{π} {(\frac{м_{4}}{м_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

де далі йдеться, нарешті, сказати, "де - й момент спектра". $m_i$ $i$

Хтось із цим стикався раніше? Який "момент" спектру? Я ніколи не чув про це в літературі DSP раніше.

frequency-spectrum

— Космічний
джерело

Згадування Ефективне обчислення спектральних моментів для визначення статистики випадкових відгуків для спектральних моментів: "Спектральні моменти обчислюються з одностороннього ПСД"

— Лоран Дюваль,

1

Я думав, що спектральні моменти - це те, що трапилось у фільмі «Привиди прихильників»! :-)

— Пітер К.

9

Приймайте низькочастотні сигнали протягом усього часу.

З тих пір $X(f)$ зазвичай має комплексне значення, використовуючи спектр потужності $|X(f)|^2$ це, мабуть, краща ідея, особливо якщо згодом ви хочете взяти квадратні корені тощо. Таким чином, $m_k$ визначається як

м_{к} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{к} | Х (f) |^{2} г f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$ Зазначимо, зокрема, що

m_{0}

$m_0$ - потужність в сигналі, і

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ Тепер пропускна здатність Gabor

G

$G$ сигналу подається

Г = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | Х (f) |^{2} г f}{\int_{- \infty}^{\infty} | Х (f) |^{2} г f}} = \sqrt{\frac{м_{2}}{м_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$ Поставити це в дещо іншій перспективі,

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ є негативною функцією, а «область під кривою

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ , "а саме.

m_{0}

$m_0$ , - потужність в сигналі. Тому

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$ фактично є функцією щільності ймовірності нульової середньої випадкової величини, дисперсія якої

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| Х (f) |^{2}}{м_{0}} г f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | Х (f) |^{2} г f}{\int_{- \infty}^{\infty} | Х (f) |^{2} г f} = Г^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$ .

Синусоїда частоти $G$ Гц має $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ нульовий перехід за секунду. Оскільки Мухаммед читає успадковану книгу, цілком може робити все це у радіальній частоті $\omega$ , і, отже, якщо $G$ - пропускна здатність Габора в радіанах на секунду, нам потрібно ділити на $2\pi$ давання

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{м_{2}}{м_{0}}} нульовий перехід за секунду.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

Переходячи до екстремуму, похідна від $x(t)$ має перетворення Фур'є $j2\pi f X(f)$ і потужність спектру $|2\pi f X(f)|^2$ . Його пропускна здатність Gabor становить

\begin{aligned} Г^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f Х (f) |^{2} г f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f Х (f) |^{2} г f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | Х (f) |^{2} г f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | Х (f) |^{2} г f}} \\ = \sqrt{\frac{м_{4}}{м_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$ Використовуючи ті ж аргументи, що і раніше (два нульові перетинання похідної на період - це те саме, що два екстремуми на період), радіан проти частоти Герцана, отримуємо

N_{е} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{м_{4}}{м_{2}}} екстремальність в секунду.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Діліп Сарват
джерело

Чудова відповідь Діліпа ... але, "Пропускна здатність Габора"? ... Я ніколи раніше про це не чув, і я не можу отримати інформацію про нього з Інтернету - звідки ви взяли його формулу? І що саме слід вимірювати?

— Космічний

Дякую за посилання у форматі PDF - хоча я не вірю, що вони працюють. Не могли б ви підтвердити?

— Космічний

Ви повинні бути обережними, якщо

f

$f$ знаходиться в Гц; у цьому випадку правильний спектральний момент - це

м_{к} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{к} | Х (f) |^{2} г f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— jankos

@jankos Чи є у вас посилання на те, що ви стверджуєте, це правильне визначення спектрального моменту

m_{k}

$m_k$ ?

— Діліп Сарват

2

Я не знаю, що я чув цей термін раніше, але я би трактував термін "момент" як такий, що має аналогічне значення фізичним поняттям центру маси та першого та другого моментів області:

м_{к} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{к} Х (f) г f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

Тобто вміст на кожній частоті в спектрі зважується на $k$ - потужність частоти і результат підсумовується по всьому спектру. Не впевнений, що це те, що ви хочете, але це поняття моменту для спектру (або будь-якої функції однієї змінної, з цього питання).

— Джейсон Р
джерело

1

Коефіцієнти, про які ви згадуєте, - це випадки стандартизованих моментів або $L$ -моменти . Моменти обробки сигналу схожі на моменти фізики та моменти статистики. У фізиці поняття моменту таке:

вираз, що включає добуток відстані та іншої фізичної величини, і таким чином він пояснює, як розташована або розташована фізична величина

Це може здатися узагальненням концепції центру мас. Середнє значення, стандартне відхилення або перекос і куртоз є похідними поняттями, і їх можна обчислити в будь-якій області, наприклад, в часі або частоті. В основному, $\alpha$ -момент функції $g$ над доменом $D$ , навколо значення $c$ , визначається в цілісній формі:

м_{г_{D}} (α, c) = \int_{D} (т - c)^{α} г (т) г т

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ або

м_{г_{D}} (α, c) = \int_{D} [т - c |^{α} г (т) г т

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$ коли потрібно. Класично для реальних сигналів

x

$x$ , через симетрію, в області Фур'є з

X (f)

$X(f)$ , спектральні моменти визначаються відносно енергії, що нормалізується (

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ )

м_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| Х (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | Х (ν) |^{2} г ν} г f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

Дивіться, наприклад: Ефективне обчислення спектральних моментів для визначення статистики випадкових відгуків для спектральних моментів: "Спектральні моменти обчислюються з одностороннього ПСД".

Перетворюється на співвідношення $L$ -моменти, вони можуть стати безмасштабними, без одиниць індикаторами поведінки функцій, включаючи екстремум, нульовий перехід або розрідженість (з $m_1/m_2$ наприклад) .

— Лоран Дюваль
джерело