Чому фільтри FIR все ще стабільні, хоча вони містять полюси?

15

Чому фільтри FIR завжди стабільні?
Оскільки вони містять полюси, чи не повинні на них більше впливати проблеми стабільності, ніж інші?

filters finite-impulse-response

— user7277
джерело

FIR стабільний, якщо все, що знаходиться на нулі, розташоване в одиниці кола

— dato datuashvili

2

Неправда: FIR завжди стабільний, і нулі можуть бути там, де вони хочуть, в тому числі і поза коло одиниць. Приклад: фільтр [1 -6 11 -6] має нулі при z = 1, 2 і 3

— Гільмар

знову ж таки, @Hilmar, це залежить від того, як реалізується FIR. FIR, реалізовані як усічений IIR (TIIR), можуть бути нестабільними всередині. реалізований як простий поперечний фільтр FIR, так, це завжди стабільно. він стабільний, навіть якщо реалізований за допомогою "швидкої згортки" (за допомогою FFT та "перекриття-додавання" або "перекриття-збереження"). а іноді, коли реалізується як фільтр TIIR, він стабільний (якщо внутрішній IIR стабільний). але ПДР, реалізована як TIIR, може бути внутрішньо нестабільною.

— Роберт Брістоу-Джонсон

8

Фільтри FIR містять лише нулі та відсутні полюси. Якщо фільтр містить полюси, це IIR. Фільтри IIR справді мають проблеми зі стабільністю і з ними потрібно обережно поводитися.

Редагувати:

Після деякої подальшої думки та певних накреслень та гуглів я думаю, що у мене є відповідь на це запитання полюсів FIR, які, сподіваємось, будуть задовольняти зацікавлені сторони.

Починаючи з трансформації Z, здавалося б, безполюсного фільтра FIR: Як показано у відповіді RBJ, полюси FIR розкриваються шляхом множення чисельника та знаменникана:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

Таким чином, отримуємо наші

полюси біля джерела загального фільтра FIR.

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

Однак, щоб показати це, припущення про причинність розміщується на фільтрі. Дійсно, якщо ми розглянемо більш загальний фільтр FIR, де причинності не передбачається: Упоходження з'являєтьсярізна кількість полюсів:

G (z) = \frac{b_{0} z^{k} + b_{1} z^{k - 1} + b_{2} z^{k - 2} + \dots + b_{N} z^{k - N}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

Таким чином, я роблю висновок про наступне:

(Відповідаючи на оригінальне запитання) Взагалі, фільтр FIR має полюси, хоча завжди на початку Z-площини. Оскільки вони ніколи не виходять за межі кола одиниць, вони не загрожують стабільності системи FIR.
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
$H (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Кеннеїд
джерело

2

Фільтри IIR насправді не дуже небезпечні.

— user7358

19

$z=0$

оскільки всі полюси розташовані всередині одиничного кола, фільтр FIR є нібито стабільним.

це, мабуть, не фільтр FIR, про який думає ОП, але є клас фільтрів FIR під назвою усічені фільтри IIR (TIIR), які можуть мати полюс на або поза одиничним колом, який скасовується нулем у тому самому місці. найпростішим прикладом цього є рухома сума або фільтр ковзної середньої. але, з точки зору вводу / виводу, ці фільтри TIIR є FIR.

але я б не наївно гарантував "стабільність". використовуючи мову системи управління, фільтр TIIR не є «повністю спостережуваним» і може здаватися стабільним, оскільки його імпульсна реакція здається кінцевою по довжині, але всередині станів фільтра може піти в пекло і з кінцевою числовою точністю, що з часом внутрішня нестабільність відображаються на виході.

ми повинні відключити себе від думки, що "фільтри FIR не мають полюсів" . неправда

— Роберт Брістоу-Джонсон
джерело

Чи можете ви математично показати, що фільтри FIR мають полюси, бо я цього не бачу.

— Джим Клей

Найкращим прикладом FIR з полюсами є фільтр Cascaded Integrated-Comb (CIC). Він починається з простого фільтра, що пересувається, (коефіцієнти типу 1, 1, 1, 1) і переписується його рекурсивно - тим самим вводячи полюс. Дивіться посилання . Вони часто реалізовуються на FPGA як перший крок у конверсії, оскільки в їх рекурсивному вигляді вони досить дешеві для обчислення. Дивіться документацію Graychip як приклад. Зазвичай вони реалізуються у фіксованій точці для підтримки стабільності.

— Девід

1

Я думаю, що нам доведеться погодитися з цим не погоджуватися - представлений конспект з оригінального документу Гогенауера "Клас цифрових лінійних фазових кінцевих імпульсних характеристик (FIR) представлений для децимації (зниження частоти вибірки) та інтерполяції (збільшення частоти вибірки)".

— Давид

4

річ CIC (яка є TIIR) - це не загальна ПДР. кожен

-поміжної FIR має

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$ полюсів. це просто стандартні речі з підручників. легко довести (як це зроблено нижче).

— Роберт Брістоу-Джонсон

2

@JimClay, фільтр, що рухається за сумою CIC або ковзний середній фільтр, звичайно, є фільтром FIR. його ІЧ - F. Це просто не реалізується як поперечний фільтр FIR, але це, безумовно, може бути, якщо ви хочете заплатити за нього MIPS.

— Роберт Брістоу-Джонсон

14

"Чи можете ви математично показати, що фільтри FIR мають полюси, тому що я цього не бачу." - Джим Клей

чи можна вважати, що ця ПДР є причиною?

порядок фільтру є $N$ $N+1$

Кінцева імпульсна реакція: $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

функція передачі FIR:

\begin{aligned} H (z) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} z^{- N} h [n] z^{N - n} \\ = z^{- N} \sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n}}{z^{N}} \\ = \frac{h [N] + h [N - 1] z + h [N - 2] z^{2} + \dots + h [1] z^{N - 1} + h [0] z^{N}}{(z - 0)^{N}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

все, що вам потрібно зробити, це помножити чисельник, і ви дізнаєтесь, де нулі. але цілком очевидно, де всі полюси для фільтра FIR. і є стільки полюсів, як і порядок фільтра FIR. зауважте, що ці полюси не впливають на частотну характеристику. крім фази.

— Роберт Брістоу-Джонсон
джерело

6

Я стою виправлений. Дякую за пояснення.

— Джим Клей

1

Насправді, за визначенням, насправді. Оскільки ви вводите кінцеву енергію і фільтр буде лише максимально доставляти кратне вхідної енергії (його імпульсна характеристика має кінцеву енергію), отриманий сигнал буде максимально мати кратний вхід енергії. Він не може резонувати і, таким чином, ескалювати, як можуть фільтри IIR. Це також відповідає відповіді Кеннеїдс.

— user7358
джерело

так, і це так само помилково, як відповідь Кеннеід.

— Роберт Брістоу-Джонсон

2

H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

1

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$

z = 0

$z=0$

1

Ніхто насправді не торкався, чому полюси фільтра FIR знімні, тому я спробував відповісти на це нижче.

Фільтри FIR матимуть знімні полюси біля початку, оскільки цього вимагає обмеженість їх імпульсної реакції. Тобто навколо полюса, можна визначити функцію так, щоб вона все ще була голоморфною (диференційованою в кожній точці своєї області).

Це теорема Рімана про те, що якщо сигнал є диференційованим у кожній точці його домену (крім кінцево багато точок), то навколо цих спеціальних точок, де функція обмежена, існує сусідство. Наслідки в цій теоремі є двосторонніми, тому, оскільки для фільтрів FIR потрібно мати обмежений імпульсний відгук, то імпульсна характеристика повинна бути диференційованою у кожній точці одиничного кола. Таким чином, сигнал можна подовжувати послідовно, щоб не було особливості (тобто полюси можна знімати).

$z$

— Том Кілі
джерело

1

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z^{- 1}

$z^{-1}$