Чи може існувати причинний фільтр без фазових зрушень?

9

Коли я вивчав дисперсію показника заломлення в напівпровідниках і діелектриках, мій професор намагався пояснити, що якщо фільтр (як діелектрик, що поглинає деякі частоти світла, або електричний RC-фільтр) видаляє деякі частоти, то решта повинні бути зміщені по фазі. компенсувати ті частоти (які нескінченно поширюються у часі, як звичайні монохроматичні сигнали), що віднімаються від усього сигналу, для збереження причинності.

Я інтуїтивно розумію, про що він говорив, але в чому я не впевнений, чи є його аргумент справді виправданим - тобто чи може існувати нетривіальний фільтр, який поглинає деякі частоти і залишає залишки не зміщеними, але все одно зберігаючими причинності. Я не можу, здається, побудувати його, але не можу довести, що він також не існує.

Отже, питання: як можна (не) доведено, що причинний фільтр повинен зміщувати фази частот відносно один одного?

filters phase

— Руслан
джерело

18

Припустимо, що лінійний фільтр має імпульсну характеристику $h(t)$ і частотна характеристика / передача функції $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ , де $H(f)$ має властивість, що $H(-f) = H^*(f)$ (обмеження кон'югації).

Тепер відповідь цього фільтра на складний експоненціальний вхід $x(t) = e^{j2\pi f t}$ є

у (т) = Н (f) е^{j 2 π f т} = | Н (f) | е^{j (2 π f т + ∠ Н (f))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$ і якщо ми хочемо , щоб цей фільтр не викликати НЕ фазовий зсув, він повинен бути,

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$ для усіх

f

$f$ .

Як щодо того, якщо замість відсутності зсуву фази ми готові дозволити фіксований постійний фазовий зсув для всіх частот? Це є, $\angle H(f) = \theta$ для всіх $f$ нам прийнятно де $\theta$ не треба бути $0$ ? Додаткова широта не дуже допомагає, тому що $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ , і так $\angle H(f)$ не може мати фіксовану постійну величину для всіх $f$ якщо це значення не є $0$ .

Ми робимо висновок, що якщо фільтр взагалі не змінює фазу, то $H(f)$ є реально оціненою функцією, а через обмеження кон'юнктури це також рівномірна функція $f$ . Але потім його перетворення Фур'є $h(t)$ є рівномірною функцією часу, і таким чином фільтр не може бути причинним (за винятком тривіальних випадків): якщо його імпульсна відповідь є ненульовою для будь-якого конкретного $t > 0$ , то це також не є нульовим для $-t$ (де $-t < 0$ ).

Зауважте, що фільтр не повинен робити придушення частоти, тобто нам не потрібно було припущення, що деякі частоти фільтрами «видаляються» (як це робить фільтр професора ОП), щоб довести твердження, що зсув нульової фази неможливий з причинним фільтром, пригнічувачем частоти чи ні.

— Діліп Сарват
джерело

2

Ну, я б сказав, фільтр з

h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$ є причинним, хоча це безапеляційний фільтр (ні пригнічувач частоти, ні фазовий зсув). В іншому, ваша відповідь чудова, дякую.

— Руслан

Чудова відповідь, але якщо я не помиляюсь, припущення про те, що частотна характеристика є сполученим симетричним, базується на реальній цінності імпульсної відповіді. Чому це справедливе припущення? Ми можемо мати функцію передачі зі складними коефіцієнтами, яку можна розуміти як поєднання двох реальних цінних фізично реалізованих систем LTI. Це означає, що частотна характеристика не повинна бути сполученою симетричною, що робить аналіз неповним.

— ijuneja

6

Існують фільтри, які викликають ,, лінійний '' зсув фази, тобто постійну затримку. Неможливо взагалі нічого фільтрувати (причинно), не викликаючи жодної затримки.

— user7358
джерело

Гарна думка. Отже, відносні часи можна зберегти. Як щодо самих фазових зрушень - чи можуть вони бути рівними для всіх частот?

— Руслан

Так. Це зазвичай називається ,, лінійна фаза ''. Можна показати, що імпульсна характеристика такого фільтра повинна бути симетричною або антисиметричною.

— користувач7358

4

Фазовий зсув обумовлений затримкою в часі, тобто часом, зайнятим сигналом для досягнення від входу до виходу системи. Тепер, якщо система не викликає жодного зсуву фаз, то це означає, що затримка часу дорівнює нулю. Тепер подумайте про систему, яка забезпечує вихід у той самий момент, коли застосовується вхід. Чи це можливо? Звичайно, ні. Якщо є система, то вона повинна виконувати якусь роботу над сигналом, який створює затримку і, нарешті, зсув фази

— Amit_DSP
джерело

Здається, те, що я не усвідомлював під час написання запитання, - це те, що я думав про відносні фазові зрушення, а не про їх глобальний зсув щодо вихідного сигналу. Звичайно, те, що ви говорите, повинно було бути очевидним, хоча не було.

— Руслан

0

Ви можете мати фільтр без зсуву фази. Його називають спостерігачем (прогноктором). Це вже не лише фільтр, а скоріше математична модель того, як багато показань сенсорів співвідносяться між собою. Таким чином, ви можете передбачити сигнал і, таким чином, мати найкраще можливе передбачення реального сигналу в той самий момент, коли ви зробите ваші вимірювання (відсутність фазового зсуву).

— Мартін
джерело

Такий «фільтр» не є причинним.

— Руслан

Звичайно, це причинно. Визначення причинного зв'язку полягає в тому, що його вихід залежить тільки від минулих та теперішніх входів. "Слово причинно-наслідкового зв'язку вказує на те, що вихід фільтра залежить лише від минулих та теперішніх входів."

— Мартін