Справжнє дискретне перетворення Фур'є

Я намагаюся зрозуміти справжні DFT та DFT і чому це розмежування існує.

З того, що мені відомо до цих пір, DFT використовує для базових векторів і дає подання Сума записується від до з історичних причин, я вважаю, що замість того, щоб писати її аналогічно ряду Фур'є з сумою, що йде від до : Це спирається на своєрідну аномолію DFT, де високі частоти такі ж, як і негативні частоти: . $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Продовжуючи аналогію із рядом Фур'є, реальний DFT дає подання Це може розглядатися як сполучення з у поданні DFT, де сума коливається від до . Це дуже схоже на з’єднання яке з'єднує два подання a Серія Фур'є:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Моє запитанняТоді чому DFT настільки більш поширений, ніж реальний DFT? Можна було б очікувати, що оскільки справжній DFT використовує реальні синуси і косинуси як основу і, таким чином, представляє геометричну картину краще, що людям більше подобається. Я можу зрозуміти, чому DFT і неперервна трансформація Фур'є були б кращими в теоретичному сенсі, оскільки алгебра експоненцій простіша. Але ігноруючи більш просту алгебру, з практичної прикладної обчислювальної точки зору, чому DFT буде кориснішим? Чому б представлення вашого сигналу складними експонентами було б більш корисним у різних програмах з фізики, мови, зображень тощо, ніж декомпозиція вашого сигналу на синуси та косинуси. Крім того, якщо у викладеній вище експозиції я чогось тонкого я не хочу, я хотів би знати:

dft

— користувач782220
джерело

Справжня дискретна перетворення Фур'є важлива з тієї причини, що застосування звичайного DFT до реальної послідовності призводить до деякої надмірності, оскільки для довжини реальна послідовність з відповідним перетворенням , послідовність - це саме складний кон'югат послідовності . Отже, слід вважати, що потрібні лише записи, що відповідають позитивним частотам перетворення. У цьому контексті також зустрінеться так звана трансформація Хартлі . Використовуються обидва підходи.

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Я настійно рекомендую прочитати ці два статті як про реальну трансформацію Фур'є, так і про перетворення Хартлі; вони роблять добру справу, пояснюючи зацікавленість у цих методах, крім самого ДФТ.

Чи правда, що матриця RDFT і матриця DFT пов'язані зміною базису? І що зміна бази - це дійсно відображення, паралельне тому, як ряд Фур'є можна представити двома способами з коефіцієнтами, пов'язаними . І ключовим моментом у контексті DFT є те, що верхні частоти слід розглядати як негативні частоти, щоб можна було робити спаровування щоб отримати синуси та косинуси, як у серії фур'є, даючи RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— користувач782220

Одне з розділів у Van Loan детально вирішує ваше питання. Це передбачає певну майстерність маніпулювання продуктами Kronecker.

По крайней мере, у вас повинно бути менше питань, ніж у вас зараз.

Перевага комплексного ДПФ або комплексного перетворення Фур'є або комплексний ряд Фур'є є те , що лінійні системи мають властивість приємно , що відповідь на є . (Тут може бути складною константою). Таким чином, вихід є просто скалярним кратним входом. Що ще важливіше, якщо ми маємо представлення вхідного даних як зваженої суми складних експоненціалів, то вихід є лише іншою зваженою сумою тих самих експоненціалів. Різні ваги, але однаковий набір експонентів . Крім того, кожна нова вага отримується шляхом множення старого ваги на відповідне число. $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

Звичайно, жодна фізична система не має сигналів складних значень, що надходять та виходять; принаймні, не станом на сьогодні, хоча завжди можна сподіватися на кращі речі в майбутньому. У той же час ми беремо реальні частини складних сигналів або отримуємо відповідь на або за допомогою лінійності та суперпозиції та ліберального використання $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

На противагу цьому, відповідь на має форму . Таким чином, хоча лінійність і суперпозиція тощо працюють, вихід може цілком потребувати використання інших базових функцій, ніж вхідний. Звичайно, дуже тісно пов'язані, але все ж можливі різні та, можливо, більше базові функції. Наприклад, введення представлене однією базовою функцією, вихід двома базовими функціями. Можна стверджувати, що складні функції вимагають вдвічі більше роботи, ніж реальні функції, і тому будь-яка економія є чисто уявною (каламбур), але складні уявлення дозволяють $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ рівномірне поводження, тоді як уявлення гріх / сот не мають. Швидкий! Враховуючи, що відповідь на - це , яка відповідь на ? Вам доведеться трохи попрацювати над цим, можливо, вам доведеться викликати такі формули, як тощо. За допомогою складних експоненцій життя набагато простіше. $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Але, як і в реальному житті, ваш пробіг може змінюватися, і якщо ви відчуваєте, що уявлення про гріх / соці - це шлях, і складні експоненти повинні бути уникнені, ви вільні слідувати своєму серцю. Якщо у вас є труднощі донести свої ідеї до колег, начальників, клієнтів чи консультантів, це буде їх втратою, а не вашою.

— Діліп Сарват
джерело