Що позначає частотна область у випадку зображень?

Я просто дізнався про частотну область в зображеннях.

Я можу зрозуміти частотний спектр у випадку хвиль. Він позначає, які частоти присутні у хвилі. Якщо ми намалюємо спектр частоти , то отримаємо імпульсний сигнал при та . І ми можемо використовувати відповідні фільтри для отримання конкретної інформації.- f + $\cos(2\pi f t)$$-f$$+f$

Але що означає частотний спектр у випадку зображень? Коли ми знімаємо FFT зображення у OpenCV, ми отримуємо дивну картину. Що позначає це зображення? А яке його застосування?

Я читав деякі книги, але вони дають багато математичних рівнянь, а не фізичних наслідків. Тож чи може хтось надати просте пояснення частотної області в зображеннях з простим застосуванням її в обробці зображень?

Але що означає частотний спектр у випадку зображень?

"Математичні рівняння" важливі, тому не пропускайте їх цілком. Але 2d FFT теж має інтуїтивну інтерпретацію. Для ілюстрації я обчислив обернену FFT з кількох зразкових зображень:

Як бачите, у частотній області встановлений лише один піксель. Результатом в області зображення (я відображав лише реальну частину) є "обертовий косинус" (уявна частина буде відповідним синусом).

Якщо я встановив інший піксель у частотній області (зліва):

Я отримую іншу частоту 2d частоти.

Якщо я встановив більше ніж один піксель у частотній області:

ви отримуєте суму двох косинусів.

Так як 1d хвиля, яка може бути представлена ​​як сума синусів і косинусів, будь-яке 2d зображення може бути представлене (вільно кажучи) у вигляді суми "обернутих синусів і косинусів", як показано вище.

коли ми знімаємо Fft зображення у opencv, ми отримуємо дивну картину. Що позначає це зображення?

Він позначає амплітуди і частоти синусів / косинусів, які при складанні дадуть вам оригінальне зображення.

А яке його застосування?

Насправді їх занадто багато, щоб їх усіх назвати. Кореляцію та згортання можна обчислити дуже ефективно за допомогою FFT, але це більше оптимізація, ви не «дивитесь» на результат FFT для цього. Він використовується для стиснення зображення, тому що високочастотні компоненти, як правило, є лише шумом.

Я думаю, що це було добре викладено у добре відомому "посібнику DSP" ( глава 24, розділ 5 ):

Аналіз Фур'є використовується при обробці зображень приблизно так само, як і при одновимірних сигналах. Однак зображення не мають кодованої інформації в частотній області, що робить методи набагато менш корисними. Наприклад, коли перетворення Фур'є приймається звуковим сигналом, заплутана форма хвилі часу перетворюється в легко зрозумілий спектр частот.

Для порівняння, прийняття перетворення Фур'є зображення перетворює пряму інформацію в просторовій області в скремблірованную форму в частотній області. Коротше кажучи, не чекайте, що перетворення Фур'є допоможе вам зрозуміти інформацію, закодовану у зображеннях.

Звичайно, існує якась структура та значення, що стоїть, здавалося б, випадковою схемою, отриманою за допомогою прийняття DFT типового зображення (наприклад, наведений нижче приклад), але це не в такій формі, як людський мозок готовий зрозуміти інтуїтивно, принаймні щодо зорового сприйняття.

Ось ще одна цікава і досить читабельна експозиція того, що міститься у перетворенні Фур’є зображення і як його можна інтерпретувати. Він має серію зображень, які дозволяють зрозуміти, яка відповідність між перетвореним Фур'є та оригінальним зображенням.

редагування: також подивіться на цю сторінку , яка демонструє —на кінець —, як більшість сприйнято важливої ​​інформації зображення зберігається у фазовому (кутовому) компоненті подання частоти.

редагувати 2: ще один приклад значення фази та величини у представленні Фур'є: "Розділ 3.4.1. Значення фази та величини" підручника TU Delft " Основи обробки зображень " це наочно демонструє:

Хвиля - одновимірна хвиля; це залежить лише від . Хвиля - двовимірна хвиля. Це залежить від і . Як бачите, у вас є дві частоти в будь-якому напрямку.t f ( x , y ) = c o s ( ω x + ψ y ) x $f(t)=cos (ωt)$$t$$f(x,y)=cos(ωx+ψy)$$x$$y$

Тому перетворення Фур'є (FFT) дасть вам , як і FFT дає вам . І якщо ваш вхід - це функція, що підсумовує 2D косинуси, то ваш 2D FFT буде сумою частот цих косинусів - знову ж таки прямим аналогом 1D FFT.ω , ψ c o s ( ω x ) $cos(ωx+ψy)$$ω,ψ$$cos(ωx)$$ω$

Можливо, варто відзначити, що аналіз Фур’є - це окремий випадок поняття, яке називається ортогональними функціями . Основна ідея полягає в тому, що ви розбиваєте складний сигнал на лінійну суперпозицію простіших "базових" функцій. Ви можете виконати обробку або аналіз на основі базисних функцій, а потім підбити підсумки за базовими функціями, щоб отримати результат для вихідного сигналу.

Для того, щоб це працювало, існують певні математичні вимоги до базових функцій, тобто вони в ідеалі утворюють ортонормальну базу. У випадку перетворення Фур'є базовими функціями є складні експоненти. Однак є багато інших функцій, які також можуть бути використані для цього.

На зображеннях зростаюча частота пов'язана з більш різкими переходами яскравості або кольору. Крім того, шум зазвичай вбудовується у високий кінець спектру, тому низькочастотна фільтрація може використовуватися для зменшення шуму.

в цьому контексті дуже хороша демонстрація: http://bigwww.epfl.ch/demo/basisfft/index.html