Різниця між дискретним перетворенням фур'є та часу

22

Я читав багато статей про DTFT та DFT, але не в змозі розрізнити різницю між двома, за винятком кількох видимих речей, таких як DTFT йде до нескінченності, тоді як DFT - лише до N-1. Може хто-небудь, будь ласка, поясніть різницю та коли використовувати? Вікі каже

DFT відрізняється від дискретного перетворення Фур'є (DTFT) тим, що його послідовності введення та виведення є кінцевими; Тому, як кажуть, це аналіз Фур'є з функціями кінцевої області (або періодичними) дискретного часу.

Це єдина різниця?

Редагувати: Ця стаття добре пояснює різницю

discrete-signals fourier-transform

— БалуРаман
джерело

4

DTFT - це безперервна функція частоти, але DFT - це дискретна функція частоти.

— Іван

Ключовим моментом єDFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime

@nmxprime Ви маєте на увазі, що DFT є вибірковою версією DTFT?

— ендоліт

1

@endolith Так. це

— nmxprime

У статті, яку ви пов’язали (стор. 2), йдеться про те, що "CTFT дав нам дискретний спектр частот". Хіба це не так? Я вважав, що частота є безперервною у тому випадку, коли постійно триває аперіодичний сигнал, що зазнає перетворення Фур'є.

— Aditya P

14

Дискретне перетворення Фур'є (DTFT) - це (звичайне) перетворення Фур'є сигналу дискретного часу. Його вихід безперервний за частотою та періодичністю. Приклад: для пошуку спектра вибіркової версії безперервного сигналу може використовуватися DTFT. $x(kT)$ $x(t)$

Дискретна перетворення Фур'є (DFT) може розглядатися як вибіркова версія (у частотній області) виходу DTFT. Він використовується для обчислення частотного спектру дискретного сигналу часу за допомогою комп'ютера, оскільки комп'ютери можуть обробляти лише обмежену кількість значень. Я б заперечував, щоб вихід DFT був кінцевим. Він також періодичний і тому може бути продовжений нескінченно.

Підсумовуючи це:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Математична властивість DFT полягає в тому, що і вхід, і вихід є періодичними з довжиною DFT . Тобто, хоча вхідний вектор у DFT є обмеженим на практиці, правильно сказати, що DFT є вибірковим спектром, якщо вважається, що вхід DFT є періодичним. $N$

— Deve
джерело

1

Ви не означає , що вхідний ДВПФ знаходиться в кінцевій?

— Лутц Леманн

@LutzL Загалом це може бути нескінченно, так. Я це зміню. А як щодо виходу DFT: ви б хотіли назвати це обмеженим чи періодичним ?

— Дева

Я думаю, що вихід DFT - це N-періодична, кінцева послідовність

— BaluRaman

1

У DFT багато що залежить від інтерпретації. З технічної точки зору воно перетворює кінцеве в кінцеве. З точки зору того, що він обчислює коефіцієнти тригонометричного многочлена, можна сказати, що він перетворює нескінченний дискретний періодичний у кінцевий. Але можна змістити вікно частот, які використовуються для представлення вводу, і амплітуди над усіма можливими частотами знову утворюють періодичну послідовність.

— Лутц Леманн

Щоб бути більш послідовним, я б поставив "періодичний" замість "кінцевий" для введення DFT. Це прямий наслідок дискретності DFT (вихід).

— Метт Л.

18

добре, я відповім на це аргументом, що "противники" моєї жорсткої нацистської позиції щодо DFT.

Перш за все, моє жорстке, нацистське становище : серії DFT та дискретні Фур’є - це одне і те ж. DFT відображає одну нескінченну та періодичну послідовність, з періодом у домені "час" в іншу нескінченну та періодичну послідовність, , знову з періодом , у домі "частоти". і iDFT відображає його назад. і вони "ін'єкційні" або "зворотні" або "один на один". $x[n]$ $N$ $X[k]$ $N$

DFT:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

це найбільш принципово те, що є DFT. вона по суті є періодичною чи круговою річчю.

але заперечувачі періодичності люблять говорити про DFT. це правда, це просто не змінює нічого з перерахованого.

тож, припустимо, у вас була послідовність кінцевої довжини довжини і, замість того, щоб періодично розширювати її (що, по суті, робить DFT), ви додаєте цю послідовність кінцевої довжини з нулями нескінченно ліворуч і праворуч. так $x[n]$ $N$

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Тепер, це є повторюваною нескінченна послідовність робить мати ДВПФ:

DTFT:

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ - Z-перетворення оцінюється на одиничному колі для нескінченно багатьох реальних значення . тепер, якби ви обрали цей DTFT у однаково розташованих точках одиничного кола, з однією точкою в , ви отримаєте $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

саме так пов’язані DFT та DTFT. вибірка DTFT через рівномірні проміжки часу в домені "частота" призводить до того, що в домені "time" початкова послідовність повторюється і зміщується всіма множинами і додаються внахлест. ось що викликає рівномірний вибірки в одному домені в іншому. але, оскільки вважається рівним поза інтервалом , додавання, що перекривається, нічого не робить. він просто періодично розширює ненульову частину , нашої початкової послідовності з кінцевою довжиною, . $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ $x[n]$

— Роберт Брістоу-Джонсон
джерело

3

Прийнята відповідь була хорошою, але я вважав вашу відповідь більш проникливою. Дякуємо за надання фактичного математичного зв’язку між DTFT та DFT ... особливо вибірки спектрів, що викликають періодичність у часовій області. Це я завжди забуваю.

— rayryeng

Ваш другий абзац, мабуть, означає, що DFT приймають послідовності введення, які мають нескінченну довжину. Хтось коли-небудь виконував DFT нескінченної довжини?

— Річард Ліон

ей Рік, добре бачити тебе тут із comp.dsp . Я пам’ятаю, що мене вітали @PeterK, коли я вперше мігрував (але я ніколи не залишаю comp.dsp ). у будь-якому випадку, до тієї ж міри, що DFS приймає послідовність введення нескінченної довжини, це ступінь, що DFT приймає вхід, який має нескінченну довжину. я все кажу, що DFT і DFS - це одне і те ж.

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

@robert bristow-johnson. це було прекрасне пояснення. моє запитання може бути поганим, але, виходячи з дискретного ряду фур'є, ви маєте на увазі той випадок, коли вхід - це безперервна періодична функція, яка триває нескінченно в обох напрямках, правильно? З того, що я пам'ятаю, з читання довер-книжки Джорджа Сілова, якщо ви зробите кількість коефіцієнтів фур'є досить великим, використовуючи досить тонку сітку частот, то ряд фур'є може відтворювати функцію безперервної періоду безперервно тісно. це фс, на який ви посилаєтесь, коли ви кажете, що це те саме, що і DFT, правда? Дякую.

— Марк Лідс

Під дискретною серією Фур'є я маю на увазі те саме, що і визначення DFT та iDFT, показані у відповіді: і для і вони періодичні з періодом : і - натуральне число. це все, що я маю на увазі під DFS.

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

Оскільки вихід DTFT є безперервним, його не можна обробити за допомогою комп'ютерів. Тому ми повинні перетворити цей безперервний сигнал у дискретний вигляд. Це не що інше, як DFT як подальший розвиток FFT для скорочення розрахунків.

— gaurav singhal
джерело

0

Якщо я маю рацію, навіть якщо введення DFT є періодичним, хоча кількість вибірок є скінченною, математика, що стоїть за ним, трактує це як нескінченну послідовність, яка періодично розпочинає Nвибірки після її закінчення. Будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся.

— ubuntu_noob
джерело

деякі в comp.dsp, що у мене були аргументи, можуть "виправити" вас, але вони помиляються. між DFT і дискретними серіями Фур'є немає різниці. жодного.

— Роберт Брістоу-Джонсон

Щоб допомогти мені зрозуміти, що тут говорять, у мене виникає питання щодо результату операції, яку ви називаєте "Дискретна серія Фур'є". Це вихід послідовності чисел або неперервної функції (рівняння)?

— Річард Ліонс

-1

DFT: ЇЇ ІНВЕРСИ будуть:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— користувач25761
джерело

1

Будь ласка, використовуйте розмітку Latex, щоб ваша математика була читабельною, і поясніть трохи більше процесу, який ви дотримувались, щоб ваша відповідь фактично допомогла ОП.

— MBaz