Ви також можете наблизити функцію квадратного кореня, використовуючи метод Ньютона . Метод Ньютона - це спосіб наближення того, де є коріння функції. Це також ітеративний метод, коли результат попередньої ітерації використовується в наступній ітерації до конвергенції. Рівняння методу Ньютона здогадатися, де корінь є функцією задана початковою здогадкою x 0 , визначається як:f( х )х0
х1= х0- f( х0)f'( х0)
- перша здогадка про те, де знаходиться корінь. Ми продовжуємо переробляти рівняння і використовуємо результати попередніх ітерацій, поки відповідь не зміниться. Загалом, для визначення здогаду кореня на ( n + 1 ) ітерації, враховуючи здогадку на n ітерації, визначають як:х1( n + 1 )н
хn + 1= хн- f( хн)f'( хн)
Щоб використовувати метод Ньютона для наближення до квадратного кореня, припустимо, що нам дано число . Таким чином, для обчислення квадратного кореня нам потрібно обчислити √а Як такий, ми прагнемо знайти відповідь таку, щоx= √а--√ . Square обидві сторони, і переміщеннядо іншої сторони виходів рівняннях2-а=0. Відповідно до цього рівняння є √х = а--√ах2- a = 0 і, таким чином, єкоренемфункції. Нехайf(x)=x2-aє рівнянням, в якому ми хочемо знайти корінь. Підставивши це методом Ньютона,f′(x)=2x, а отже:а--√f( x ) = x2- аf'( х ) = 2 х
xn+1=1
хn + 1= хн- х2н- а2 хн
хn + 1= 12( хн+ ахн)
Тому, щоб обчислити квадратний корінь , нам просто потрібно обчислити метод Ньютона, поки ми не сходимося. Однак, як зазначає @ robertbristow-johnson, поділ - це дуже дорога операція - особливо для мікроконтролерів / DSP з обмеженими ресурсами. Крім того, може бути випадок, коли здогадка може бути 0, що призведе до помилки поділу на 0 через операцію ділення. Таким чином, ми можемо використовувати метод Ньютона і вирішити замість нього взаємну функцію, тобто 1а . Це також дозволяє уникнути будь-якого поділу, як ми побачимо пізніше. Сквернувши обидві сторони і перемістившись √1х= а--√до лівої сторони рукитаким чиномдає 1а--√. Тому рішення цього було б11х2- a = 0 . Помноживши наа, ми отримали намічений результат. Знову ж таки, використовуючи метод Ньютона, ми маємо:1а√а
xn+1=xn-1
хn + 1= хн- f( хн)f'( хн)
хn + 1= хн- 1( хн)2- а- 2( хн)3
хn + 1= 12( 3 хн- ( хн)3а )
Однак є попередження, яке нам слід враховувати, переглядаючи вищевказане рівняння. Для квадратних коренів рішення має бути позитивним, і для того, щоб ітерації (і результат) були позитивними, необхідно виконати наступну умову:
3 хн- ( хн)3a > 0
3 хн> ( хн)3а
( хн)2a < 3
Тому:
( х0)2a < 3
х0х0х010- 6
Оскільки ваш тег шукає алгоритм C, давайте запишемо його дуже швидко:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Це досить основна реалізація методу Ньютона. Зауважте, що я продовжую зменшувати початкові здогадки вдвічі, поки не буде задоволено умову, про яку ми говорили раніше. Я також намагаюся знайти квадратний корінь 5. Ми знаємо, що це приблизно дорівнює 2,236 або близько того. Використання вищевказаного коду дає такий вихід:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
а
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Як бачите, єдине, що відрізняється - це скільки ітерацій потрібно для обчислення квадратного кореня. Чим більша кількість того, що ви хочете обчислити, тим більше ітерацій буде потрібно.
Я знаю, що цей метод був запропонований у попередньому дописі, але я зрозумів, що я отримаю метод, а також надам код!