Розуміння основ багатостороннього фільтрування

У мене виникають труднощі зрозуміти деякі основні поняття багатосторонньої фільтрації. З різних джерел я бачу, що основними будівельними блоками багатопрофільного фільтра є блоки діадічного аналізу та синтезу.

Питання 1 :

Структура блоку аналізу виглядає наступним чином, де сигнал широкої смуги розбивається на смуги низької та високочастотної смуги, кожна з яких має відсічення FS / 4 (Nyquist / 2). Потім кожну смугу зменшують на коефіцієнт 2.

Як ви можете точно представити сигнал у високочастотному діапазоні, коли він містить інформацію про частоту, що перевищує границю Найквіста нового скороченого зразка?
Питання 2 :

Структура блоку аналізу виглядає наступним чином, де сигнал піддіапазону інтерполюється, повторно фільтрується і потім підсумовується.

Яка мета другої фільтрації?

filter-bank

— Learnvst
джерело

Узагальнена теорема Найквіста - "Вам потрібно щонайменше два зразки на Гц пропускної здатності". Якщо ваш сигнал переходить від 999000 Гц до 1001000 Гц, необхідна частота вибірки становить лише 4 кГц, навіть якщо всі включені частоти значно вище.

— Гільмар

Тепер я бачу, що "на Гц пропускної здатності" - це ключ, який я бракував.

— Learnvst

Спочатку я відповім на питання 2, і, сподіваюся, це допоможе пояснити, що відбувається з питанням 1.

При вибірці сигналу базового діапазону є неявні псевдоніми сигналу базової смуги на всі цілі кратні кратності частоти дискретизації, як показано на малюнку нижче. Асиметричний сигнал базової смуги з псевдонімами Суцільне зображення є вихідним сигналом базової смуги, а псевдоніми представлені пунктирними зображеннями. Я вибрав асиметричний (тобто складний) сигнал, щоб допомогти продемонструвати інверсію, яка відбувається при непарних кратних частотах вибірки.

Ви можете запитати: "Чи справді псевдоніми існують?" Це трохи філософське питання. Так, в математичному сенсі вони існують, оскільки всі псевдоніми (включаючи сигнал базової смуги) не відрізняються один від одного.

Підвищуючи вибірку, вставляючи нулі між оригінальними зразками, ви ефективно збільшуєте частоту вибірки на швидкість збільшення вибірки. Отже, якщо ви збільшуєте вибірку на коефіцієнт два (ставлячи один нуль між кожним зразком), ви збільшуєте коефіцієнт вибірки та коефіцієнт Найквіста на коефіцієнт 2, в результаті чого ви побачите малюнок нижче. Невибірний асиметричний сигнал базової смуги

Як бачимо, один із неявних псевдонімів на попередньому зображенні тепер став явним. Якщо ви FFT зразки, він відобразиться. Нижче наведено не суворий доказ того, що трансформація DFT принципово не змінюється.

Тепер, коли у вас є два явні псевдоніми, якщо ви просто хочете псевдонім базової смуги, вам доведеться низькочастотний фільтр, щоб позбутися інших псевдонімів. Однак іноді люди використовують інші псевдоніми, щоб зробити їх модулюючими. У такому випадку ви б високочастотний фільтр позбувся сигналу базової смуги. Я сподіваюся, що відповість на питання 2.

Питання 1 - це в основному зворотне питання 2. Припустимо, ви вже опинилися в ситуації, показаній на другій картині. Є два способи отримання сигналу базової смуги, який потрібно. Перший спосіб - це низькочастотний фільтр (тим самим позбувшись вищого псевдоніму), а потім знежирення в два рази. Це дає вам зображення №1.

Другий спосіб - це високочастотний фільтр (позбавлення від псевдоніму базової смуги), а потім знецінення в два рази. Причина, що це працює, полягає в тому, що ви навмисно випромінюєте сигнал в базову смугу, таким чином, в черговий раз, переводячи вас на зображення №1.

Чому б ви хотіли зробити це саме так? Оскільки в більшості ситуацій сигнали будуть не однаковими, тож ви можете вибрати, який сигнал ви хочете, або зробити їх обидва окремо.

Якщо ви вивчаєте багатоступеневу обробку, настійно рекомендую отримати "Багатосторонню обробку сигналів для систем зв'язку" Фредеріка Харріса. Він робить дуже гарну роботу з пояснення теорії, не нехтуючи математикою, і даючи також багато практичних порад.

EDIT: Навмисне відбір сигналу, менший за швидкість Найквіста, називається недобіжкою . Далі йде моя спроба пояснити математично, чому FFT не змінюється, коли ви займаєте вибірку. "x [n]" - це вихідний набір вибірок, "u" - коефіцієнт підвищеної вибірки, а "x '[n]" - набір вибірок, що відбирається.

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N - 1} x^{'} [n] e^{- i 2 π k n / u N}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0.. N - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x^{'} [u n] e^{- i 2 π k u n / u N} \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

Вибачення за некрасиве форматування. Я нобіль LaTex.

EDIT 2: Я мав би зазначити, що значення DFT x [n] і x '[n] не справді однакові. Частота вибірки вища, що, як я пояснював у попередній частині відповіді, викликає псевдоніми "викриття". Я намагався вказати моїм не-математичним способом, що DFT, окрім частоти вибірки, однакові.

— Джим Клей
джерело

Це фантастична відповідь. Дякую. Справді дуже зрозуміло.

— Learnvst

Вміст у вашій редакції неправильний. Якщо ви підвищуєте вибірку сигналу, вставляючи нулі між зразками, то DFT результуючого сигналу не такий, як DFT вихідного сигналу; Спектр нуля-набивні сигнал дорівнює вихідний, частота стискаються і повторюються на коефіцієнті підвищення частоти дискретизації .

U

$U$

— Jason R

@JasonR Я вважаю, що правка в основному правильна, хоча я не зазначив, що частота вибірки змінюється, що саме по собі є важливою зміною. Я вважаю, що ми відрізняємось тим, що ви думаєте про це з нормалізованої точки зору, що дійсно робить те, що відбувається, схожим на "стиснення" та "повторення". Як я намагався пояснити в початковій частині своєї відповіді, хоча інший спосіб поглянути на це - це те, що ми просто збільшуємо частоту вибірки, що призводить до впливу інших псевдонімів.

— Джим Клей

@JasonR Якщо я помилився в рівняннях, будь-ласка, будь ласка, вкажіть це на мене, і я буду радий це виправити. Дякую.

— Джим Клей