Чому DFT приймає перетворений сигнал періодичним?

10

У багатьох книгах з обробки сигналів стверджується, що DFT вважає, що трансформований сигнал є періодичним (і це, наприклад, може відбуватися витік спектра).

Тепер, якщо поглянути на визначення DFT, такого припущення просто немає. Однак у статті Вікіпедії про дискретний час перетворення Фур'є (DTFT) зазначено, що

При послідовності введення даних $x[n]$ є $N$ -періодичний, рівняння 2 може бути обчислено зведено до дискретного перетворення Фур'є (DFT)

Отже, чи походить це припущення від DTFT?
Насправді, обчислюючи DFT, чи насправді я обчислюю DTFT з припущенням, що сигнал є періодичним?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
джерело

Оскільки DFT X [k] з x [n] є першим періодом дискретного ряду Фур'є (DFS) періодичного сигналу xp [n], перший період якого прийнято як x [n]

— Fat32

1

схоже, мені доведеться написати на це відповідь. DFT припускає, що перетворений сигнал є періодичним, оскільки він підходить до набору базових функцій для перетвореного сигналу, всі вони є періодичними.

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

DFT - це просто спрощене вираження DFS, тому періодичне припущення суттєво існує.

— lxg

12

Вже є кілька хороших відповідей, але я все ще хочу додати ще одне пояснення, тому що вважаю цю тему надзвичайно важливою для розуміння багатьох аспектів цифрової обробки сигналів.

Перш за все, важливо розуміти, що DFT не передбачає періодичності перетворення сигналу. DFT просто застосовується до кінцевого сигналу довжиною і відповідні коефіцієнти DFT визначаються через $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

З (1) очевидно, що розглядаються лише зразки в інтервалі , тому періодичність не передбачається. З іншого боку, коефіцієнти можна інтерпретувати як коефіцієнти Фур'є періодичного продовження сигналу . Це видно із зворотного перетворення $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $x[n]$

\begin{matrix} (2) & x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

який обчислює правильно в інтервалі , але вона також обчислює його періодичне продовження за межами цього інтервалу , так як права сторона (2) є періодичною з періодом . Ця властивість притаманна визначенню DFT, але вона не повинна нас турбувати, оскільки зазвичай нас цікавить лише інтервал . $x[n]$ $[0,N-1]$ $N$ $[0,N-1]$

Враховуючи DTFT $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

ми можемо бачити, порівнюючи (3) з (1), що якщо є кінцевою послідовністю в інтервалі , коефіцієнти DFT є зразками DTFT : $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

Таким чином, одне використання DFT (але, безумовно, не єдине) - це обчислення зразків DTFT. Але це працює лише в тому випадку, якщо сигнал, що підлягає аналізу, має кінцеву довжину . Зазвичай цей сигнал кінцевої довжини будується шляхом вікна більш тривалого сигналу. І саме це віконце спричиняє витік спектра.

В якості останнього зауваження зазначимо, що DTFT періодичного продовження кінцевої послідовності може бути виражений через коефіцієнти DFT : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

EDIT: Те, що та наведені вище, є парою трансформації DTFT, можна показати наступним чином. Спочатку зауважимо, що DTFT дискретної гребінки часового імпульсу є гребінцем Dirac: $\tilde{x}[n]$ $\tilde{X}(\omega)$

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

Послідовність може бути записана як згортання імпульсною гребінкою: $\tilde{x}[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

Так як згортка відповідає множенню в домені ДВПФА, ДВПФ з задаються множенням з гребенем Дірака: $\tilde{X}(\omega)$ $\tilde{x}[n]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

Поєднання з встановлює результат . $(9)$ $(4)$ $(6)$

— Метт Л.
джерело

ця відповідь стрілила вниз з тієї ж причини, що я отримав останню відповідь @ hotpaw2. в цьому твердженні: "З (1) очевидно, що лише зразки $x[n]$ в проміжку $[0,N−1]$ вважаються, тому періодичність не передбачається. " висновок не випливає з передумови.

— Роберт Брістоу-Джонсон

4

@ robertbristow-johnson: Це так. Дай мені

N

$N$ послідовних зразків, і я даю вам DFT. Мені нічого не потрібно припускати про сигнал поза діапазоном

[0, N - 1]

$[0,N-1]$ , навіть не його існування. Це єдине, що я стверджую в цьому реченні, і це, очевидно, правда. Для обчислення DFT мені не потрібно нічого знати, крім значень в інтервалі

[0, N - 1]

$[0,N-1]$ . Не впевнений, як ви могли неправильно зрозуміти чи неправильно прочитати мою заяву. Якщо це питання щодо формулювання, я би радий уточнити своє речення, але змістовно це насправді тривіально.

— Метт Л.

4

прочитайте іншу відповідь нижче та мою відповідь на іншій темі. справа не в тому, про що ви припускаєте

x [n]

$x[n]$ поза

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$ . йдеться про те, про що «передбачає» перетворення (якщо нам дозволяють трохи антропоморфізувати)

x [n]

$x[n]$ поза

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$ . ми можемо дізнатися, що передбачає перетворення, коли ми викликаємо операцію в одному домені, яка зміщує інший домен на цілу кількість.

— Роберт Брістоу-Джонсон

@MattL. (9) слід читати

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$ замість

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— jomegaA

@jomegaA: Ні в обох випадках. Як сказано в останньому реченні моєї відповіді, кінцевий результат (6) укладається з поєднання (9) з (4), тому, звичайно, , але в (9) ) походить від DTFT . А щодо коефіцієнта масштабування , він обов'язково повинен бути там. Не плутайте вирази, використовуючи та , вони мають різні коефіцієнти масштабування.

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$

X (ω)

$X(\omega)$

2 π / N

$2\pi/N$

ω

$\omega$

f

$f$

— Метт Л.

8

Він походить від визначення сигналу часової області:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

За визначенням ви бачите, що . З іншого боку, DFT повністю реконструює N вибірок сигналу. Отже, ви можете зробити висновок, що воно передбачає періодичне продовження його. $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$

Іншою точкою зору було б дивитись на DFT як на кінцеву дискретну серію Фур'є (це насправді, подивіться на дискретні серії Фур'є - DFS ), що, звичайно, вказує на те, що сигнал є періодичним (Кінцеве підсумовування сигналів з періодом становить сигнал, який має період ). $T$ $T$

— Рой
джерело

2

Я не бачу, як це випливає з визначення.

— user10839

1

@ user10839: Просто оцініть

x [n + N]

$x[n+N]$ і ви побачите, що вона дорівнює

x [n]

$x[n]$ . Як було зазначено у відповіді, DFT - це лише ряд Фур'є сигналу часової області. Кінцева тривалість сигналу часової області вважається основним періодом.

— Метт Л.

@ user10839, Просто підключіть його до рівняння. Експонент можна визначити за допомогою функцій Косину і Синуса, які, як видно, мають період

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$ .

— Рой

1

DFT - це не DFS. Це педантично, але DFT дає вам коефіцієнти серії Фур'є. Важливо зазначити, що DFT - це як і будь-які інші лінійні перетворення. Це матричне множення. Матриця ортонормальна, що робить її приємною. Можна також показати, що вихідні рівні коефіцієнти розширення даних відповідного ряду Фур'є, але перетворення Фур'є не є рядом Фур'є (тип невідповідності: p).

— Тханг

@thang, я поняття не маю на увазі. DFT - це DFS. Вони однакові. Це легко побачити. Зверніть увагу, це дискретна серія Фур'є, а не серія Фур'є (із інтегралами). Подивіться тут en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_series і переконайтеся, що це DFT.

— Рой

5

Це не потрібне (а часто помилкове) припущення. DFT - це лише базове перетворення кінцевого вектора.

Базові вектори DFT якраз і є фрагментами нескінченно розширюваних періодичних функцій. Але немає нічого принципово періодичного щодо вводу та результатів DFT, якщо ви не розширите базові вектори поза діафрагмою DFT. Багато форм аналізу сигналів не вимагають розширення чи припущень за межами вибіркового вікна або кінцевого вектора даних.

Будь-які артефакти "витоку" також можна вважати похідними прямокутним вікном за замовчуванням із сигналом, який не є періодичним, або невідомої періодичності чи стаціонарності. Це має набагато більше сенсу при аналізі перекритих вікон FFT, де будь-яке припущення про періодичність поза будь-яким вікном DFT або FFT може бути невідповідним даних у інших вікнах.

Періодичність може зробити математику, що стосується DFT до DTFT, більш простежуваною. Але будь-яке відношення до DTFT може бути або не потрібно при фактичному використанні FFT для обробки сигналу (залежно від того, які саме властивості перетворення Фур'є потрібні для подальшого аналізу способу обробки).

— гаряча лапа2
джерело

стрілка вниз з тієї ж причини, що я вниз стріляв вашою нещодавнішою відповіддю про це.

— Роберт Брістоу-Джонсон

5

Гаразд, моя відповідь буде дещо іншою, ніж інші відповіді. моя відповідь приймає передумови питання, а не заперечує передумови питання.

Причина того, що DFT "приймає" вхідний сигнал (сигнал, який потрібно перетворити, що я вважаю, що ОП означає "перетворений сигнал"), є періодичним, тому що DFT підходить до набору вхідного сигналу колекції базових функцій, усі з яких є періодичними.

розглянути інший набір базових функцій:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

і задано вхідних зразків: $N$

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

ми можемо встановити лінійну суму цих базових функцій до вхідної послідовності $g_k(n)$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

при розумному підборі коефіцієнтів . обчислення всіх вимагає розв’язання лінійних рівнянь з невідомими. ви можете використовувати Гауссову ліквідацію для цього. $X[k]$ $X[k]$ $N$ $N$

з правильних значень для для , ми можемо переконатися, що сума цих функцій потужності (яка є поліномом третього порядку) точно оцінить до для кожного таким, що . $N$ $X[k]$ $0 \le k \le N-1$ $(N-1)$ $x[n]$ $n$ $0 \le n \le N-1$

тепер що робити, якщо ви використовуєте це підсумок, щоб вийти за інтервал ? ви можете оцінити його для будь-якого . ви помітите, що поведінка цієї функції буде такою, як поліном -го порядку, тому що це є. для досить великих, лише найвища потужність з ненульовим коефіцієнтом встановить тренд для екстрапольованого . $0 \le n \le N-1$ $n$ $(N-1)$ $n$ $x[n]$

тому зараз, за допомогою DFT, ми підганяємо інший набір базових функцій до нашої послідовності введення:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

а коефіцієнти можна вирішити для і становлять: $X[k]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

розміщення цього є питанням конвенції. Я розміщую його там, де більша частина літератури ставить фактор . його можна було б вийняти з рівняння і замість цього поставити в рівняння . або "половину" його ( ) можна розмістити з обома рівняннями. це лише питання конвенції. $\frac{1}{N}$ $\frac{1}{N}$ $x[n]$ $X[k]$ $\sqrt{\frac{1}{N}}$

але тут ми підходимо до набору базових функцій, які всі періодичні з періодом до вихідного . так що навіть якщо прийшов з більш довгої послідовності НЕ періодичний, ДПФ розглядає , що являє собою суму купи базисних функцій кожну , які є періодичними з періодом . якщо скласти купу періодичних функцій, всі з тим самим періодом, сума також повинна бути періодичною з тим самим періодом. $N$ $x[n]$ $x[n]$ $x[n]$ $N$

— Роберт Брістоу-Джонсон
джерело

дещо полемічніше, де я заперечую думку про те, що DFT не обов'язково періодично поширює передані їм дані, будь ласка, подивіться на цю попередню відповідь від мене . я б краще не повторював це тут.

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

DFT дискретний. DTFT є безперервним. Ми можемо отримати DFT від DTFT, відібравши його з імпульсним поїздом потрібного періоду, що фактично дорівнює його множенню на імпульсний потяг. Множення в області перетворення дорівнює згортці в області дискретного часу, це передбачає періодичність сигналу.

— учень
джерело

DTFT є безперервним? Як це?

— jojek

2

Результат DTFT є безперервним (за частотою).

— Дев

Дійсно - таким чином ви повинні чітко заявити, щоб уникнути непорозумінь і подати адекватні рівняння.

— jojek

@jojek Це правда, я також думаю, що цю відповідь можна було б покращити деякими рівняннями

— Deve

1

Я скоро додам більше деталей.

— учень

0

Тільки DFT практичний у дискретному цифровому світі через періодичні припущення в обох областях. (Якщо ви називаєте це так.) Оскільки неперіодичний сигнал на одному домені викликає безперервний сигнал на іншому, і ви можете зберігати дискретний сигнал лише в цифровій пам'яті. Отже, вам потрібно припустити, що сигнали є періодичними для обох доменів, щоб зробити їх дискретними для обох доменів.

При обчисленні DTFT ви отримуєте безперервний сигнал в частотній області як вихід.
Я не думаю, що ви будете використовувати ту саму процедуру, коли ви обчислюєте DFT на практиці. Коли ви фактично обчислили і DTFT, і DFT, ви зрозумієте, що обидва обчислення перетворення - це різні історії.

— Цікавий Сем
джерело

0

Оскільки сигнал є періодичним, сигнал, зміщений у часі, не змінює абсолютної величини частотної області.

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π i D k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n - D] e^{\frac{2 π i n k}{N}} e^{\frac{- 2 π i D k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

До речі, ніщо не заважає вам приймати FFT неперіодичного сигналу, але це мало практичного використання, якщо жодна з перетворень не працює.

— FreedomToWin
джерело