Чому перетворення Фур'є гребінця Дірака є гребінцем Дірака?

16

Це не має для мене сенсу, оскільки нерівність Гейзенберга говорить, що $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Тому, коли у вас є щось ідеально локалізоване в часі, ви отримуєте щось повністю розподілене за частотою. Звідси основне співвідношення $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ де $\mathfrak{F}$ - оператор перетворення Фур'є .

Але для гребінця Dirac , застосувавши перетворення Фур'є, ви отримаєте ще одну гребінець Dirac. Інтуїтивно ви також повинні отримати інший рядок.

Чому ця інтуїція не вдається?

fourier-transform

— Карлос - мангуст - небезпека
джерело

13

Я вважаю, що помилковість полягає в тому, щоб повірити, що гребінь Дірака локалізований в часі. Це не тому, що це періодична функція, і як така вона може мати частотні компоненти лише у кратних її основної частоти, тобто в дискретних точках частоти. Він не може мати безперервний спектр, інакше не був би періодичним у часі. Як і будь-яка інша періодична функція, гребінь Дірака може бути представлений рядом Фур'є, тобто як нескінченна сума складних експоненцій. Кожному комплексному експоненціалу відповідає імпульс Дірака в частотній області з різною частотою. Узагальнення цих імпульсів Дірака дає гребінь Дірака в області частоти.

— Метт Л.
джерело

Так, жодна періодична гребінь не локалізована у відповідній незалежній змінній (час / частота).

— Петро К.

11

Ваша інтуїція не вдається, оскільки ви починаєте з помилкових припущень. Невизначеність Гейзенберга не говорить про те, що ви думаєте, що це говорить. Як ви вже говорили у своєму питанні, це нерівність . Якщо бути точним, це так

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Немає жодної причини, коли продукт невизначеності повинен бути близьким до нижньої межі для всіх сигналів. Насправді єдиними сигналами, які досягають цієї нижньої межі, є атоми Габора. Для всіх інших сигналів очікуйте, що він буде більшим і, можливо, навіть нескінченним.

— Джазманіак
джерело

1

Правильно, але головна помилка - це думати, що гребінь Дірака локалізований в часі. Це не тому, що періодично. Тож теорема невизначеності не говорить нічого корисного про гребінь Дірака.

— Метт Л.

@MattL., Це не те, як я розумію оригінальне запитання. Я думаю, що він насправді стверджує, що поїзд Дірака повністю перетворений у свою рідну область, і тому Фур'є повинен перетворитись на щось дуже локалізоване.

— Jazzmaniac

1

Гаразд, схоже, є непорозуміння, що означає "ОП" під "іншою лінією". Я думав, що це стосується плоского спектру (подібно до спектра імпульсу Дірака, про який він згадував раніше). Але ви думали, що це стосується спектральної лінії, тобто однієї єдиної частоти. Принаймні зараз я розумію, як ваша відповідь могла відповісти на питання ОП.

— Метт Л.

1

@MattL., Я насправді думав, що він має на увазі звичайне графічне зображення розподілів Dirac, коли він пише "рядок". У будь-якому випадку йому доведеться уточнити, оскільки питання можна по-справжньому прочитати хоча б двома різними способами.

— Jazzmaniac

1

добре, «стандарт» визначення фізичного заяву щодо імпульсу і положення невизначеності ( в Зокрема , стандартні відхилення) і має

там. і навіть у цьому випадку ви повинні визначити, що означає "

" і "

". та константа (яку ви визначаєте як

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) не може бути занадто далеко від єдності (в масштабі журналу), але вона не повинна бути

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

за винятком конкретного визначення для "

" та "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— Роберт Брістоу-Джонсон

6

інженери-електрики трохи швидко і вільно грають з функцією дельти Дірака, яку математики наполягають, що це не функція (або, принаймні, не "регулярна" функція, а "розподіл"). математичний факт полягає в тому, що якщо $f(t)=g(t)$ "майже скрізь" (що означає при кожному значенні $t$ за винятком лічильної кількості дискретних значень), то

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

а функції $f(t)=0$ і $g(t)=\delta(t)$ рівні скрізь, за винятком $t=0$ , але ми, інженери-електрики, наполягаємо на тому, що їх інтеграли різні. але якщо ви відкладете цю невелику (і, на мою думку, непрактичну) різницю, відповідь на ваше запитання:

функція гребінця Дірака
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ є періодичною функцією періоду $T$ і тому має ряд Фур'є: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
якщо ви вибуху коефіцієнти, $c_n$ , серії Фур'є, ви отримаєте:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

тому серія Фур’є для гребінця Dirac є

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

що означає, що ви просто підсумуєте купу синусоїд однакової амплітуди.

Перетворення Фур'є єдиного складного синусоїди:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

і є ця властивість лінійності щодо перетворення Фур'є. решта доказів - це вправа, залишена читачеві.

— Роберт Брістоу-Джонсон
джерело

1

δ (t)

$\delta(t)$

Ви продовжуєте помилковий аргумент, який пропонує математикам не отримувати 1, коли вони інтегруються через розподіл Dirac. Ну, ви не можете краще продемонструвати, що ви не зрозуміли розподілу Dirac, навіть якщо ви взяли клас з функціонального аналізу. Йому не потрібні інженери-електрики, як ви, щоб "виправити" математику. І я продовжуватиму це вказувати на вас, поки не перестанете говорити про таких математиків. Це повністю ваш вибір.

— Джазманіак

це теж неправда, @Jazzmaniac. я говорю , що, в відповідності з тим, що Математики кажуть нам, дельта - функція Дірака в дійсності не є функцією (навіть якщо ми електромеханіків не турбуватися про те, що відмінності і угоди з ним , як ніби це функція) , тому що якщо це було функція, яка майже всюди була нульовою, інтеграл був би нульовим. чому ти продовжуєш мене хибно представляти? яка сокира ти шліфуєш?

— Роберт Брістоу-Джонсон

@ robertbristow-johnson "електричні інженери грають трохи швидко і вільно з функцією дельти Дірака". Пол Дірак був інженером-електриком. Клод Шеннон також був інженером-електриком. Я закликаю вас робити такі загальні та неточні твердження. Ви заявляєте, що є інженером-електриком і чітко розумієте теорію розподілу.

— Марк Віола

майже кожен підручник з електротехнічної техніки з теорії лінійних систем або сигналів і систем або якесь подібне ім'я запровадить і розглядає дельту Дірака як обмежувальний випадок "дельти зародження" . наприклад:

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

1

I shall try to give an intuition. The way we could probably think is : "One Dirac delta gives us a 1 in frequency domain. Now I give infinite number of Dirac deltas. Shouldn't I get a higher DC?" Now let us see whether by adding all those frequency components mentioned in the Dirac comb in the frequency domain(FD), we get another Dirac comb in time domain(TD). We are adding continuous waveforms and getting deltas at discrete points. Sounds weird.

Coming back to the FD. We have a Dirac comb with spacing $\omega_0$ . To put it in words, we have deltas at $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ and so on. We thus have a DC and infinite number of cosines, namely $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
джерело