Яка різниця між фазовою затримкою та груповою затримкою?

41

Я вивчаю деякий DSP і мені виникають проблеми з розумінням різниці між фазовою затримкою та груповою затримкою .

Мені здається, вони обидва вимірюють час затримки синусоїдів, що пройшли через фільтр.

Чи правильно я думаю про це?
Якщо так, то чим відрізняються два виміри?
Чи може хтось навести приклад ситуації, коли одне вимірювання було б кориснішим за інше?

ОНОВЛЕННЯ

Читаючи наперед у вступі Джуліуса Сміта до цифрових фільтрів , я виявив ситуацію, коли два вимірювання принаймні дають різні результати: фільтр із афінною фазою . Це часткова відповідь на моє запитання.

— дБ '
джерело

Можливо, ця сторінка стане вам корисною. Це пояснює групову затримку та її ефекти, не маючи математики.

— user5108_Dan

сторінка вікіпедії математично викладає визначення та різницю. якщо у вас лінійно-фазовий фільтр, затримка групи та затримка фаз - це одне і те ж значення і є просто затримкою пропускної здатності фільтра. для будь-якого загального фільтра, який має певний коефіцієнт посилення при постійному струмі (тобто не HPF і BPF з dB в DC) і не має реверсування полярності при постійному струмі, затримка групи та затримка фази є однаковими значеннями при близькому до DC .

- \infty

$-\infty$

— Роберт Брістоу-Джонсон

19

Перш за все визначення різні:

Фазова затримка: (мінус) Фаза, поділена на частоту
Групова затримка: (мінус) Перша похідна фази проти частоти

На словах, що означає:

Фазова затримка: кут фази в цій точці частоти
Групова затримка: Швидкість зміни фази навколо цієї точки за частотою.

Коли використовувати те чи інше, дійсно залежить від вашої програми. Класичним застосуванням для групової затримки є модульовані синусоїди, наприклад, радіо AM. Час, який потрібен для отримання сигналу модуляції через систему, задається груповою затримкою, а не затримкою фази. Іншим звуковим прикладом може бути ударний барабан. Це здебільшого модульована синусоїда, тому якщо ви хочете визначити, наскільки ударний барабан буде затриманий (і потенційно змащений вчасно), групова затримка - це спосіб його подивитися.

— Гільмар
джерело

"Абсолютна фаза в цій точці частоти" Чи не було б це просто називатися "фазою"?

— ендоліт

Я мав на увазі "абсолютний" порівняно з "відносним", але я бачу, що це можна переплутати з "абсолютним значенням". Я відредагую її

— Гільмар

Остання важлива відмінність: затримка фази на деякій частоті - час затримки фази квазісинусоїдального сигналу частоти проходить через фільтр. групова затримка є час затримки огибающего або « групи » квазі-синусоїди.

f

$f$

f

$f$

— Роберт Брістоу-Джонсон

16

Вони обидва не вимірюють, скільки затримується синусоїда. Фазова затримка вимірює саме це. Групове зволікання трохи складніше. Зобразіть коротку синусову хвилю з нанесеною на неї амплітудною оболонкою, щоб вона згасала і згасала, скажімо, гаусса, помножена на синусоїду. Цей конверт має форму до нього, і зокрема, він має пік, який представляє центр цього "пакета". Групова затримка повідомляє, на скільки буде затримка конверта амплітуди, зокрема, на скільки буде рухатися пік цього пакета.

Мені подобається думати про це, повертаючись до визначення групової затримки: це похідне від фази. Похідна дає лінеаризацію фазового відгуку в цій точці. Іншими словами, на певній частоті групова затримка повідомляє вам приблизно про те, як фазова характеристика сусідніх частот співвідноситься з фазовою характеристикою в цій точці. Тепер пригадайте, як ми використовуємо синусоїду, модульовану амплітудою. Амплітудна модуляція прийме пік синусоїди і введе бічні смуги на сусідніх частотах. Таким чином, групова затримка дає вам інформацію про те, як затримуються бічні смуги відносно цієї несучої частоти, і застосувавши цю затримку, певним чином змінить форму амплітудної оболонки.

Божевільна річ? Причинно-наслідкові фільтри можуть мати затримку групи негативних! Візьміть свій гаусс, помножений на синусоїду: ви можете побудувати аналогову схему таким чином, що при надсиланні цього сигналу пік конверта з’явиться на виході перед входом. Це здається парадоксальним, оскільки, здавалося б, фільтр повинен "побачити" в майбутньому. Це, безумовно, дивно, але спосіб задуматися над тим, що оскільки конверт має дуже передбачувану форму, фільтр вже має достатньо інформації, щоб передбачити, що буде. Якби в середині сигналу було вставлено шип, фільтр не передбачав би цього. Ось справді цікава стаття про це: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— шнарф
джерело

Коли ви говорите "зобразити ...", тут дійсно корисне зображення.

— Габріель Степлес

9

Для тих, хто все ще не може змінити різницю, ось простий приклад

Візьміть довгу лінію передачі з простим синусоїдальним сигналом з амплітудною оболонкою, , на вході $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Якщо ви вимірюєте цей сигнал на кінці лінії передачі, він може надходити десь так:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

де - різниця фаз від введення до виходу. $\phi$

Якщо ви хочете, скільки часу займає фаза синусоїди, передача від введення до кінця, то - ваша відповідь за секунди. $\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

Якщо ви хочете, скільки часу займає конверт , , передачі синусоїди від введення до кінця, то - це ваша відповідь у секунд. $v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Фазова затримка - це просто час у дорозі для однієї частоти, тоді як групова затримка є мірою спотворення амплітуди, якщо застосовується масив декількох частот.

— Swapnil Parihar
джерело

3

Фазова затримка будь-якого фільтра - це кількість затримок у часі, що кожного компонента частоти страждає при проходженні фільтрів (Якщо сигнал складається з декількох частот.)

Групова затримка - це середня затримка в часі складеного сигналу, постраждалого на кожній складовій частоти.

— Саед
джерело

2

Я знаю, що це досить старе питання, але я шукав виведення виразів для групової затримки та затримки фаз в Інтернеті. У мережі існує не так багато таких виводів, тому я подумав, що поділюся тим, що знайшов. Також зауважте, що ця відповідь є скоріше математичним описом, ніж інтуїтивним. Для інтуїтивного опису, будь ласка, зверніться до вищенаведених відповідей. Отже, ось що:

Розглянемо сигнал і передамо його через систему LTI з частотною характеристикою Ми розглянули посилення системи має бути єдністю, оскільки нам цікаво проаналізувати, як система змінює фазу вхідного сигналу, а не посилення. Тепер, враховуючи, що множення у часовій області відповідає згортці в частотній області, перетворення Фур'є вхідного сигналу задається що становить Отже, вихід системи має частотний спектр, заданий

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$ Тепер, до щоб знайти зворотне перетворення Фур'є у наведеному вище виразі, нам потрібно знати точну аналітичну форму для . Отже, для спрощення питань, ми припускаємо, що вміст частоти включає лише ті частоти, які значно нижче частоти несучої . У цьому сценарії сигнал може розглядатися як модульований амплітудою сигнал, де являє собою огинаючу косинусного сигналу високої частоти. У частотній області тепер містить дві вузькі смуги частот, зосереджені в і

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$ (див. вищенаведене рівняння). Це означає, що ми можемо використовувати розширення серії Тейлора першого порядку для . де Підключивши це, ми можемо розрахувати перетворення Фур'є першої половини як Замінивши на , це стає

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$ що спрощує Підключивши вирази для і , це стає Аналогічно інша половина зворотного перетворення Фур'є можна отримати, замінивши на . Зауваживши, що для реальних сигналів є непарною функцією, це стає

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$ Таким чином, додаючи два разом, отримуємо Зауважте затримки в оболонці та сигналі косинуса несучої. Групова затримка відповідає затримці в конверті, тоді як затримка фази відповідає затримці в носії. Таким чином,

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Арконаір
джерело