Чому так багато методів обчислення PSD?


53

Метод Велча - це мій алгоритм переходу до обчислення спектральної щільності потужності (PSD) рівномірних вибіркових часових серій. Я помітив, що існує багато інших методів обчислення PSD. Наприклад, у Matlab я бачу:

  • PSD за методом Burg
  • ПСД методом коваріації
  • PSD за допомогою періодограми
  • PSD з використанням модифікованого методу коваріації
  • PSD за допомогою мультитаперного методу (MTM)
  • PSD за методом Вельча
  • PSD за методом Yule-Walker AR
  • Спектрограма з використанням короткочасного перетворення Фур'є
  • Спектральна оцінка

Які переваги цих різних методів? Як практичне запитання, коли я хотів би використовувати щось інше, ніж метод Вельча?


Навіть новачок у обробці сигналу, але здогадуємось {це}, може бути доречним, також {це} . Я просто гугла.
Розробник

4
Насправді ви не "обчислюєте" PSD, а "оцінюєте" його. Є величезна різниця.
leonbloy

1
Це посилання містить приклади деяких згаданих вище методів: mathworks.com/help/signal/ug/nonparametric-methods.html

Відповіді:


67

Я не знайомий з методом Multitaper. Тим не менш, ви задали досить запитання. Досліджуючи ступінь MSEE, я пройшов цілий курс, який охоплював оцінку PSD. Курс охоплював усе перераховане вами (за винятком методу Multitaper), а також підпросторні методи. Навіть це охоплює лише деякі основні ідеї, і існує багато методів, що випливають із цих концепцій.

Для початку є два основні методи оцінки спектральної щільності потужності: непараметричний та параметричний.

Непараметричні методи застосовуються, коли про сигнал подано мало відомо. Зазвичай вони мають меншу складність в обчисленні, ніж параметричні моделі. Методи в цій групі далі поділяються на дві категорії: періодограми та корелограми. Періодограми також іноді називають прямими методами, оскільки вони призводять до прямої трансформації даних. До них відносяться вибірковий спектр, метод Бартлетта, метод Вельча та періодограма Даніеля. Коррелограми іноді називають непрямими методами, оскільки вони використовують теорему Вінера-Хінчіна. Тому ці методи засновані на взятті перетворення Фур'є в якійсь формі оцінки послідовності автокореляції. Через велику кількість дисперсії, пов'язану з відставаннями вищого порядку (через малу кількість зразків даних, використаних у кореляціях), використовується віконний проріз. Метод Блекмена-Тукі узагальнює методи корелограми.

Параметричні методи зазвичай передбачають якусь модель сигналу до розрахунку оцінки спектральної щільності потужності. Тому передбачається, що деякі знання сигналу відомі достроково. Є дві основні категорії параметричних методів: авторегресивні методи та методи підпростору.

Авторегресивні методи передбачають, що сигнал можна моделювати як вихід авторегресивного фільтра (наприклад, фільтра IIR), керованого послідовністю білого шуму. Тому всі ці методи намагаються вирішити для коефіцієнтів IIR, завдяки чому отримана спектральна щільність потужності легко обчислюється. Порядок моделі (або кількість кранів), однак, повинен бути визначений. Якщо замовлення моделі буде занадто малим, спектр буде сильно згладженим та не матиме роздільної здатності. Якщо замовлення моделі занадто велике, починають з'являтися помилкові вершини від великої кількості полюсів. Якщо сигнал може бути змодельований процесом AR моделі "p", то вихід фільтра порядку> = p, керований сигналом, видаватиме білий шум. Існує сотні показників для вибору замовлення на модель. Зауважте, що ці методи відмінно підходять для сигналів високої та середньої частоти, вузькосмугових SNR. Перший пояснюється тим, що модель розпадається в значному шумі і краще моделюється як процес ARMA. Останнє зумовлене імпульсивним характером отриманого спектру від полюсів у перетворенні Фур'є отриманої моделі. Методи AR базуються на лінійному прогнозуванні, яке використовується для екстраполяції сигналу за межами відомих значень. Як результат, вони не страждають від бічних кульок і не потребують вікон.

Методи підпростори розкладають сигнал на підпростір сигналу та підпростір шуму. Експлуатування ортогональності між двома підпросторами дозволяє сформувати псевдоспектру, де можуть з’являтися великі вершини у вузькосмугових компонентах. Ці методи дуже добре працюють в умовах низького рівня SNR, але обчислювально дуже дорогі. Їх можна об'єднати у дві категорії: методи підпростору шуму та методи підпростору сигналу.

Обидві категорії можна використовувати одним з двох способів: власне значення декомпозиції матриці автокореляції або сингулярне розкладання значення матриці даних.

Методи шумового підпростору намагаються вирішити для 1 або більше власних векторів шумового підпростору. Тоді, ортогональність між підпростором шуму та підпростором сигналу виробляє нулі в знаменнику отриманих оцінок спектру, в результаті чого великі значення або шипи у справжніх компонентів сигналу. Кількість дискретних синусоїд або ранг підпростору сигналу має бути визначена / оцінена або відома достроково.

Методи підпростору сигналу намагаються відкинути підпростору шуму до спектральної оцінки, покращуючи SNR. Матриця автокореляції зменшеного рангу формується лише з власними векторами, визначеними, що належать до підпростору сигналу (знову ж таки, проблема впорядкування моделі), а матриця зі зниженим рангом використовується в будь-якому іншому способі.

Зараз я спробую швидко охопити ваш список:

  • PSD за методом Burg: Метод Бурга використовує рекурсію Левінсона дещо інакше, ніж метод Юля-Уокера, оскільки він оцінює коефіцієнти відбиття, мінімізуючи середню помилку лінійного прогнозування вперед та назад. Це призводить до гармонійного середнього коефіцієнта часткової кореляції похибки лінійного прогнозування вперед та назад. Він дає дуже високі оцінки роздільної здатності, як і всі авторегресивні методи, оскільки використовує лінійне прогнозування для екстраполяції сигналу за межами відомого запису даних. Це ефективно знімає всі явища боковини. Він перевершує метод YW для записів коротких даних, а також знімає компроміс між використанням упереджених та неупереджених оцінок автокореляції, оскільки розділяються коефіцієнти зважування. Один недолік полягає в тому, що він може проявляти спектральне розщеплення ліній. В додаток, він страждає від тих же проблем, що і всі методи AR. Тобто, SNR з низьким та помірним рівнем погіршує продуктивність, оскільки він вже не належним чином моделюється процесом AR, а швидше процесом ARMA. Методи ARMA застосовуються рідко, оскільки вони, як правило, призводять до нелінійного набору рівнянь щодо параметрів ковзної середньої.

  • PSD з використанням методу коваріації : Метод коваріації - це особливий випадок методу найменших квадратів, завдяки якому віконна частина лінійних помилок прогнозування відкидається. Це має кращі показники методу Бурга, але на відміну від методу YW, матриця, обернена для вирішення, не є ермітським Toeplitz взагалі, а скоріше добутом двох матриць Toeplitz. Тому рекурсію Левінсона не можна використовувати для вирішення коефіцієнтів. Крім того, фільтр, що генерується цим методом, не гарантує стабільності. Однак для спектральної оцінки це добре, що призводить до дуже великих піків синусоїдального вмісту.

  • PSD за допомогою періодограми : Це один з найгірших оцінок і є особливим випадком методу Вельча з єдиним сегментом, прямокутним або трикутним вікном (залежно від того, яка оцінка автокореляції використовується, упереджена або неупереджена) і без перекриття. Однак, це одне з "найдешевших" обчислень. Отримана дисперсія може бути досить високою.

  • PSD з використанням модифікованого методу коваріації : Це покращує як метод коваріації, так і метод Burg. Його можна порівняти з методом Бурга, коли метод Бурга лише мінімізує середню помилку лінійного прогнозування вперед / назад щодо коефіцієнта відбиття, метод МС мінімізує його відносно ВСІХ коефіцієнтів AR. Крім того, воно не страждає від спектрального розщеплення ліній і забезпечує набагато менше спотворень, ніж раніше перераховані методи. Крім того, хоча він не гарантує стабільний фільтр IIR, його реалізація ґратчастого фільтра стабільна. Він є більш обчислювальним, ніж інші два методи.

  • PSD, використовуючи метод Welch: метод Welch покращує періодограму, усуваючи відсутність усереднення ансамблю, що присутній у справжній формулі PSD. Він узагальнює метод Барлетта за допомогою перекриття та вікон, щоб забезпечити більше "зразків" PSD для середнього псевдоансамблеї. Це може бути дешевим, ефективним методом залежно від застосування. Однак якщо у вас ситуація з сильно розташованими синусоїдами, методи АР можуть бути більш підходящими. Однак для цього не потрібно оцінювати порядок моделі на зразок методів AR, тож якщо апріорно мало відомо про ваш спектр, це може стати відмінною відправною точкою.

  • PSD за методом Yule-Walker AR : Це особливий випадок методу найменших квадратів, де використовуються повні залишки помилок. Це призводить до зниження продуктивності порівняно з методами коваріації, але може бути ефективно вирішено за допомогою рекурсії Левінсона. Він також відомий як метод автокореляції.

  • Спектрограма з використанням короткочасного перетворення Фур'є : Тепер ви переходите в інший домен. Це використовується для змінних часових спектрів. Тобто той, спектр якого змінюється з часом. Це відкриває цілу іншу банку глистів, і існує стільки ж методів, скільки ви перерахували для аналізу частоти часу. Це, звичайно, найдешевше, саме тому його так часто використовують.

  • Спектральна оцінка : це не метод, а простий термін для решти вашої посади. Іноді періодограму називають "спектром зразка" або "періодограмою Шустера", колишній з яких може бути тим, про що ви говорите.

Якщо вас зацікавило, ви можете також вивчити підпросторові методи, такі як MUSIC та Pisarenko Harmonic Decomposition. Вони розкладають сигнал на підпростір сигналу та шуму та використовують ортогональність між підпростором шуму та власними векторами підпростору сигналу для створення псевдоспектру. Подібно до методів AR, можливо, ви не отримаєте "справжню" оцінку PSD, оскільки потужність, швидше за все, не зберігається, а амплітуди між спектральними компонентами відносні. Однак все залежить від вашої заявки.

Ура


Дякую за чудову відповідь! Чи можете ви додати кілька вступних зауважень щодо різниці між параметричними та непараметричними методами? Крім того, може бути більш зрозуміло згрупувати методи, тісно пов'язані між собою або отримані один від одного, тобто періодограма method метод Бартлетта method метод Вельча.
nibot

Звичайно. Я щойно додав вступ та деякі категорії.
Брайан

Ласкаво просимо. Дякуємо, що надали таку детальну відповідь.
Джейсон R

Якщо ви могли б детальніше розглянути питання про переваги / недоліки, а не про те, як кожен з них розраховується, це дасть нам кращий сенс, як вибрати його для конкретної програми.
CyberMen

1
Якщо ви прочитали відповідь, я зробив саме це. Крім того, для практичних реалізацій обчислення кожного з них є значною перевагою / недоліком. Деякі з них є дуже обчислювально ефективними, але не так добре. Деякі з них спрацьовують дуже добре, але дуже складні і їх важко реалізувати на цілях малої потужності.
Брайан

12

Я хотів додати до єдиної категорії, яку перша публікація не висвітлювала. Мультитаперний метод - непараметричний метод обчислення спектру потужності, аналогічний підходу періодограми. У цьому методі спектр потужності обчислюється шляхом вікна даних та обчислення перетворення Фур'є, беручи величину результату і розбиваючи їх. Метод мультитапер має середнє значення заздалегідь визначеної кількості періодограм, кожна з яких обчислюється з іншого вікна. Цей метод працює, оскільки вибрані вікна мають дві математичні властивості. По-перше, вікна ортогональні. Це означає, що кожна з періодограм некорельована, тому усереднення декількох періодограм дає оцінку з меншою дисперсією, ніж використання лише одного конуса. По-друге, вікна мають найкращу можливу концентрацію в частотній області для фіксованої довжини сигналу.

У matlab віконні функції можна викликати за допомогою функції dpss. Окрім використання оптимальних вікон, було виведено алгоритм зважування різних періодограм на основі того, скільки витоків вони додадуть до оцінки спектру потужності. Алгоритм дає набір ваг, що адаптуються до даних. Отримання оцінки спектру за допомогою набору ваг, що адаптуються до даних, можна здійснити в Matlab, створивши об’єкт спектру.mtm з "адаптивним", що використовується як варіант комбінування.

Що стосується непараметричних методів, то метод МТ є, мабуть, найкращим методом оцінки спектру потужності для стаціонарного часового ряду.


Переглядаючи останнє речення у своєму дописі, ви завжди хочете використовувати обчислення MT за методом Вельча.
ncRubert
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.