Чому я бачу дзвінок на виході цифрового фільтра з вузькою перехідною смугою?

Я роблю деякий "екстремальний" еквівалент для ефектів спектрального керування з аудіо. Я використовую фільтри для цегляних стін, і дуже вузькі смугові фільтри пропускання та відхилення (VST плагіни), і я хотів би знати, чи є щось, що я можу зробити щодо "кільця" до / після "з фільтрами лінійної фази / мінімальної фази" Я використовую . На жаль, я мушу використовувати круті схили рів. Я готовий використовувати мінімальну фазу, оскільки це дозволяє уникнути попереднього дзвінка.

Зокрема, мені цікаво:

1. Що саме викликає коливання імпульсної реакції відразу після входу, у фільтрі мінімальної фази?

2. Чи є ці коливання, що спричиняє чутний звук перед і після "дзвінка", який додається до смуги пропускання з фільтруванням крутого схилу?

3. Чи коливання, і, отже, частота дзвінка завжди однакові, чи частота дзвінка певним чином залежить від вхідного сигналу?

Дуже дякую за вашу експертизу. Я з нетерпінням чекаю будь-яких відповідей. Дейл.

Відредаговано у відповідь на переглянуте запитання та додаткові коментарі ОП.

Я не погоджуюся з твердженням @ JasonR про те, що дзвінок фільтра відбувається через явище Гіббса .

Як описано у статті Вікіпедії, зв'язаної у відповіді Джейсона, явище Гіббса - це спостереження про асимптотичну поведінку усіченої суми (перших термінів) серії Фур’є періодичного, але переривчастого сигналу, такого як квадратна хвиля або пилоподібна хвиля. Стаття у Вікіпедії ілюструє приклад квадратної хвилі, показуючи, що чим більше і більше термінів приймається ( стає більшим), усічена сума Фур'є стає все ближче і ближче до квадратної хвилі. Існують коливання, що виникають навколо комутаційних моментів, коли квадратна хвиля переходить від високої до низької або навпаки, але вони стають все меншими і меншими, якn n n → $n$$n$$n$стає великим. Як правильно вказує Джейсон, амплітуда коливань стає меншою, частота збільшується, а тривалість, що спостерігається, також стає меншою. Загалом це виглядає так, як усічена сума Фур'є сходяться до квадратної хвилі в межі як .$n \to \infty$

Явище Гіббса - це спостереження, що навіть в межах граничної міри, коли переходить до ,$n$$\infty$ сума ряду Фур'є не збігається до високого або низького значення в елементах комутації, де квадратна хвиля різко змінює значення. (Конвергенція ж відбувається у всіх інших моментів часу). Це не має нічого спільного з фільтрацією як такої, хіба що в тому сенсі, що усічена сума Фур’є може розглядатися як вихід ідеального низькопрохідного фільтру з цегляної стіни з квадратним хвилевим входом. Якщо відсічення фільтра таке, що перший n n$n$гармоніки передаються незмінними, а більш високі гармоніки блокуються, вихід - усічена сума Фур'є з перших доданків. Але в межі, яка виникає при явищі Гіббса, немає фільтру: всі гармоніки передаються на вихід без будь-яких змін. З цієї причини я не погоджуюся, що дзвінок на фільтрі обумовлений явищем Гіббса.$n$

То чому виникає дзвін? Усі(нетривіальні) фільтри дзвонять, незалежно від того, це цегляна стіна чи ні, незалежно від форми вхідного сигналу та незалежно від того, чи є вхід безперервним чи має різкі переходи. Причина полягає в тому, що якщо на вході є енергія в частотних смугах, які зупиняються (повністю або в значній частині), ця енергія ефективно зберігається всередині фільтра і повільно вивільняється, як енергія в діапазоні з плином часу. Більшу частину часу цей випуск не помічається дуже, тому що він заглушений реакцією на присутній в діапазоні сигнал. Однак, якщо вбудований сигнал змінюється (або припиняється) відносно раптово, енергію, накопичену за попередні часи, все-таки потрібно звільнити, і це дзвінок, який спостерігається після того, як вхідний сигнал зник. З точки зору DSP, буфер фільтра FIR продовжує спорожнятися навіть після закінчення сигналу, і таким чином вихід продовжується навіть після закінчення сигналу. Оскільки фільтри з різким відсіканням мають довгі буфери (якщо ви хочете багато розділів у двох квадратиках), це спорожнення триває багато часу та значно помітніше, ніж у більш легкого фільтру, який спорожняється досить швидко.

Ваші спостереження - приклад явища Гіббса . Застосовуючи фільтр із дуже різкою смугою переходу, ви спостерігатимете коливання на виході фільтра (або "дзвінок") поблизу будь-яких різких переходів у вхідному сигналі (наприклад, межі імпульсних форм хвиль). Удавана "частота" коливань залежить від пропускної здатності фільтра; при збільшенні частоти обрізання фільтра коливання з часом ставатимуть більш локалізованими (тобто "вище за частотою"), але пікове перекриття не зміниться. Згадана вище стаття у Вікіпедії має хороше пояснення на півдорозі .

1. Як зазначав Джейсон, існує основний "принцип невизначеності": все, що дуже вузько за частотою, є широким у часі і навпаки.
2. Якщо ви використовуєте мінімальні фільтри, не повинно бути попереднього дзвінка, а лише дзвінка після повідомлення. Попереднє дзвінок відбувається лише для лінійних фазових фільтрів. Попереднє дзвінок набагато чутніше, ніж після дзвінка, тому найкращий вибір тут є мінімальними фільтрами. Це може виглядати погано під час вимірювання, але якщо це не надзвичайно, після дзвінка не дуже чутно через деякі маскувальні властивості слухової системи людини.
3. Вони дзвонять, як правило, на кутових частотах вашого фільтра. Тобто фільтр низьких частот 2 кГц буде виробляти дзвінок 2 кГц, тому частота є функцією фільтра, а не вмісту. Вміст збудить його по-різному. Якщо вміст невеликий або не має 2 кГц, він не дуже збудить дзвінок.

Смуговий фільтр із крутими переходами та плоскою прохідною смугою наближається до прямокутної форми.

Прямокутник в одному домені FT - це функція Sinc в іншому. Це справедливо для прямокутного вікна у часовій області, що створює спектральний "витік" у частотній області. Або для прямокутного вікна в частотній області, що створює спіральний пакет у часовій області. Чим вужчий прямокутник (смуга пропускання), тим ширше Sinc. (І функція Sinc "дзвонить" з обох сторін). Для заданої ширини в одному домені єдиний спосіб отримати щось вузьке за енергетичним ступенем, ніж Sinc в іншому, - використовувати те, що виглядає ближче до гаусса, ніж прямокутник, наприклад, немає крутих країв.

Тепер розглянемо зміщення цього прямокутника в одній області (наприклад, зміна частоти пропускання смугового фільтра). Круговий зсув в одному домені DFT - це лінійне обертання фаз в іншому домені. Підсумовуйте складний кон'югат, щоб отримати реальну відповідь, і два навпаки і швидко обертаються складні експоненціальні спіральні пакети стають дзвінким часом у відповідь домену. Швидкість дзвінка буде пов'язана з центральною частотою смуги частот, а довжина дзвінка буде пов'язана з вузькістю пропускної здатності та крутизною переходу. Якщо спіраль обертається більше ніж на половину обороту, перш ніж конверт відмирає, буде дзвонити. Спосіб зробити так, щоб конверт вимирав швидше в одному домені - це використовувати більш широку функцію округлення в іншому домені.

Частина 2:

Якщо ви використовуєте інструмент Remez або Parks-McClellen для розробки ваших фільтрів, ви отримаєте відповідь екві-пульсацій. Синусоїд в одному домені FT є імпульсом в іншому. Тому екві-пульсація в частотній області буде імпульсом, або "галочкою" у часовій області. Ця "галочка" буде зміщена з центру імпульсної відповіді "частотою" пульсації в частотній області. Чим площиніший розроблений Remez фільтр, тим швидше стає пульсація, тим більше «галочка» витісняється з імпульсної реакції. Це частина попереднього рингу. Використовуйте менш агресивну методологію проектування фільтрів, щоб уникнути цього.