Як порівняти складні відповіді (та обґрунтування)?

Я розробляю програмне забезпечення, яке обчислює відповідь системи шляхом порівняння FFT вхідних і вихідних сигналів. Вхідні та вихідні сигнали поділяються на вікна, і для кожного вікна сигнали відбиваються посередньо та множать функцію Ханна. Відповідь інструменту для цього вікна - це співвідношення FFT, що обробляються даними.

Я вважаю, що вищезазначене є стандартною процедурою, хоча я, можливо, описую це погано. Моя проблема полягає в тому, як поєднувати відповіді з декількох вікон.

Наскільки я бачу, правильним підходом є середнє значення складних значень для всіх вікон. Амплітудна та фазова характеристика - це амплітуда та фаза середнього, комплексного значення на кожній частоті:

av_response = sum_windows(response) / n
av_amplitude = sqrt(real(av_response)**2 + imag(av_response)**2)
av_phase = atan2(imag(av_response), real(av_response))

з неявними петлями над частотами.

Але мене попросили , щоб змінити це , щоб обчислити амплітуди і фази в кожному вікні першого , а потім середньої амплітуди і фази у всіх вікнах:

amplitude = sqrt(real(response)**2 + imag(response)**2)
av_amplitude = sum_windows(amplitude) / n
phase = atan2(imag(response), real(response))
av_phase = sum_windows(phase) / n

Я стверджував, що це неправильно, оскільки кути усереднення "просто неправильні" - наприклад, середнє значення 0 і 360 градусів - 180, але люди, з якими я працюю, відповіли, сказавши: "Добре, ми відображатимемо лише амплітуду".

Отже, мої запитання:

Чи правильно я вважаю, що другий підхід, як правило, неправильний і для амплітуд?
Якщо так, чи є якісь винятки, які можуть бути актуальними, і які можуть пояснити, чому люди, з якими я працюю, віддають перевагу другому методу? Наприклад, схоже, що два підходи погодиться, коли шум стає малим, тож, можливо, це прийняте наближення для низького рівня шуму?
Якщо другий підхід невірний, чи є якісь переконливі, авторитетні посилання, які я можу використати, щоб показати це?
Якщо другий підхід невірний, чи є хороші, прості для розуміння приклади, які показують це за амплітудою (як це в середньому для фази 0 і 360 градусів)?
Як варіант, якщо я невірний, що б мені було хорошою книгою, щоб я краще навчався?

Я намагався стверджувати, що середнє значення -1 1 1 -1 1 -1 -1 має бути нульовим, а не 1, але це було непереконливо. І хоча я думаю, що я міг би з часом побудувати аргумент, що ґрунтується на оцінці максимальної вірогідності з урахуванням конкретної шумової моделі, люди, з якими я працюю, не будуть слухати. Тож, якщо я не помиляюся, мені потрібен або вагомий аргумент влади, або «очевидна» демонстрація.

[Я намагався додати більше тегів, але не можу знайти відповідні і не можу визначити нових як нового користувача - вибачте]

fft statistics frequency-response

— andrew cooke
джерело

Яку причину вони нехтують вашим методом?

— nibot

реакція виглядає більш плавною, коли планується другий метод. Я думаю, це тому, що для розглянутих випадків немає значущого сигналу (при більш високій f), тоді як другий підхід примушує сигнал "з'являтися" від шуму. також різні політичні / комунікаційні питання, як ви могли здогадатися.

— andrew cooke

Ви намагалися надати деякі тестові випадки? Візьміть випадкові дані і відфільтруйте їх через деякі фільтри з відомою частотною характеристикою. Переконайтеся, що оцінка функції передачі збігається з відомою функцією передачі.

— nibot

немає. я цього не зробив це гарна пропозиція. Дякую. якщо добре представлений, я міг би бачити, що це переконливо.

— andrew cooke

Відповіді:

Оцінка функції передачі зазвичай реалізується дещо інакше, ніж описаний вами метод.

Ваш метод обчислює

⟨ \frac{F [y]}{F [x]} ⟩

$\left\langle \frac{\mathcal{F}[y]}{\mathcal{F}[x]} \right\rangle$

де кутові дужки є середніми значення, взяті над сегментами даних і віконна функція застосовується до кожного сегменту даних , перш ніж приймати перетворення Фур'є ( ). $\langle$ $\rangle$ $\mathcal{F}$

Більш типовою реалізацією буде обчислити поперечну спектральну щільність x і y, розділену на спектральну щільність потужності x:

\frac{⟨ F [y] \cdot F [x]^{*} ⟩}{⟨ | F [x] |^{2} ⟩} = \frac{⟨ F [y] \cdot F [x]^{*} ⟩}{⟨ F [x] \cdot F [x]^{*} ⟩}

$\frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle|\mathcal{F}[x]|^2\rangle} = \frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle\mathcal{F}[x]\cdot\mathcal{F}[x]^*\rangle}$

Де являє собою точковий продукт, а складний кон'югат. $\cdot$ $*$

Я вважаю, що це полягає в зменшенні ефекту сегментів даних, де відсіки надмірно малі. $\mathcal{F}[x]$

Несумісна оцінка

Ваш роботодавець запропонував оцінити функцію передачі за допомогою

\frac{| ⟨ F [y] | ⟩}{⟨ | F [x] | ⟩}

$\frac{|\langle \mathcal{F}[y]|\rangle}{\langle |\mathcal{F}[x]|\rangle}$

Це спрацює , але має два великих недоліки:

Ви не отримуєте жодної фазової інформації.
Якщо ваші вимірювання входу та виходу мають будь-який додатковий шум, то оцінка функції передачі буде неправильною. $x$ $y$

Ваш метод та описаний нами метод обходять ці проблеми за допомогою когерентного усереднення .

Список літератури

Загальна ідея використання перекритих, усереднених сегментів для обчислення спектральної щільності потужності відома як метод Вельча . Я вважаю, що розширення використання цього методу для оцінки функцій передачі також часто називають методом Вельча, хоча я не впевнений, чи згадується він у роботі Велча. Перегляд паперу Велча може бути цінним ресурсом. Корисна монографія на цю тему - книга Бендата та Пірсола « Випадкові дані: процедури аналізу та вимірювання» .

Перевірка

Для перевірки вашого програмного забезпечення я пропоную застосувати кілька тестових випадків, коли ви генеруєте білий гауссовий шум і подаєте його через цифровий фільтр із відомою функцією передачі. Введіть входи та виходи в процедуру оцінки функції передачі та переконайтеся, що оцінка збігається з відомим значенням функції передачі.

— nibot
джерело

ах! Дякую. я буду досліджувати / спробувати це.

— andrew cooke

@nibot Які, точні, довжини FFT тут використовуються?

— Спейси

Ви можете використовувати будь-яку довжину. Довжина визначає роздільну здатність, а, неявно (з урахуванням фіксованого обсягу даних для роботи), кількість середніх. Більш довгий fft = краща роздільна здатність, але й більші помилки через менший середній показник.

— nibot

ок, ще одна відмінність полягає в тому, що у вас є <F (y) F * (x)> / <F (x) F * (x)>, тоді як у Phonon є <F (y)> <F * (x)> / (< F (x)> <F * (x)>) afaict: o (

— andrew cooke

Немає сенсу обчислювати <F (y)> <F * (x)> / (<F (x)> <F * (x)>), оскільки <F * (x)> s скасується негайно. Я думаю, що це правильно, як я це написав.

— nibot

Ласкаво просимо до обробки сигналів!

Ви абсолютно праві. Не можна просто середні величини та фази DFT окремо, особливо фази. Ось проста демонстрація:

$z = a+bi$ $|z|$ $\angle z$ $z$

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

∠ z = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

$\angle z = \tan ^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$

$z$ $z_1$ $z_2$

z = \frac{z_{1} + z_{2}}{2} = \frac{a_{1} + b_{1} i + a_{2} + b_{2} i}{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i}{2}

$z = \frac{ z_1 + z_2 } {2} = \frac{ a_1+b_1i + a_2 + b_2i } {2} = \frac{ (a_1+a_2) + (b_1 + b_2)i } {2}$

В цьому випадку,

| z | = \sqrt{\frac{(a_{1} + a_{2})^{2}}{4} + \frac{(b_{1} + b_{2})^{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(a_{1} + a_{2})^{2} + (b_{1} + b_{2})^{2}} \neq \frac{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}{2}

$|z| = \sqrt{\frac{(a_1+a_2)^2}{4} + \frac{(b_1+b_2)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}\neq \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}+\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{2}$

Також,

∠ z = \frac{\tan^{- 1} (\frac{b_{1}}{a_{1}}) + \tan^{- 1} (\frac{b_{2}}{a_{2}})}{2} \neq \tan^{- 1} (\frac{2 (b_{1} + b_{2})}{2 (a_{1} + a_{2})})

$\angle z = \frac{\tan ^{-1} \left( \frac{b_1}{a_1} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{b_2}{a_2} \right)}{2} \neq \tan ^{-1} \left( \frac{2(b_1+b_2)}{2(a_1+a_2)} \right)$

$|z|$ $\angle z$

Тепер, щоб робити те, що ви намагаєтесь зробити, я пропоную наступне. Теоретично можна знайти імпульсну характеристику системи, поділивши DFT виводу на DFT вхідного сигналу. Однак при наявності шуму ви отримаєте дуже дивні результати. Трохи кращий спосіб зробити це було б використовувати двоканальну оцінку імпульсного відгуку FFT, яка йде наступним чином (деривація тут не передбачена, але ви можете знайти її в Інтернеті).

$G_i(f) = \dfrac{ F^1_i(f) + F^2_i(f) + \cdots + F^N_i(f) }{N}$ $F^k_i(f)$ $k$ $k$ $i$ $G_o(f) = \dfrac{ F^1_o(f) + F^2_o(f) + \cdots + F^N_o(f) }{N}$ $G$ $\hat{H}(f)$ $H(f)$

\hat{H} (f) = \frac{G_{o} (f) G_{i}^{*} (f)}{| G_{i} (f) |^{2}}

$\hat{H}(f) = \frac{G_o(f)G_i^*(f)}{|G_i(f)|^2}$

$(\cdot)^*$

— Фонон
джерело

Дякую; я не був впевнений, чи голосувати за цього чи найбольше за найкращу відповідь - я думаю, що вони виступають за той самий процес, тому я пішов із рекомендацією книги, але якби у мене було два голоси, я б також включив це ...

— andrew cooke

@andrewcooke Так, вони обидва виступають за абсолютно одне і те ж. Я сподіваюся, що це прояснить справи для вас і колег.

— Фонон

це була величезна допомога для мене (ще раз дякую). у понеділок я запропоную мені (1) застосувати запропонований метод та (2) порівняти з відомими (синтетичними) даними для всіх трьох. то, сподіваємось, найкращий підхід переможе: o)

— andrew cooke

@Phonon Які довжини FFT ми використовуємо для обчислення FFT тут? length_of_signal + max_length_of_channel + 1?

— Спейси

@Mohammad Це має бути принаймні вдвічі довше затримки, яку ви очікуєте знайти. Це пов'язано з круговою симетрією DFT, тому ви отримаєте як причинно-наслідкові, так і позапричинні значення затримки у своєму результаті.

— Фонон

Це різниця між когерентним та некогерентним усередненням спектрів FFT. Узгоджене усереднення швидше відхиляє випадковий шум в аналізі. Невідповідна швидше підкреслює випадкові величини шуму. Що з них важливіше для вашого звіту про результати?

— гаряча лапа2
джерело

якщо вони дають різні результати, я думаю, я хочу об'єктивну оцінку. чи неупереджений?

— andrew cooke