Яка хороша віконна функція FFT для відхилення постійного струму?

Я використовую FFT, щоб проаналізувати, що по суті є енергетичною оболонкою сигналу (див. Тут для інформації про проект, що міститься), і, оскільки число потужностей завжди позитивне, для усунення компонента постійного струму я хотів би використати вікно функція, яка становить 50/50 позитивних і негативних, порівняно зі звичайною всепозитивною функцією.

Я взяв функцію " плоский верх ", вилучив a0ухил і перетворив її з косинусів на синуси, але не впевнений, що це оптимально (або навіть значимо).

Будь-яка пропозиція?

Перша похідна найбільш поширених функцій безперервного вікна (фон Ханн та ін.) Буде відхиляти постійний струм, але все ще матиме частотну характеристику, подібну до вихідної функції вікна; тож ви все ще можете використовувати свої оригінальні критерії "доброти" для вибору вікон, якщо це не пов'язане з фазою.

Якщо ви хочете робити спектральний аналіз сигналу з великою складовою постійного струму, і ви хочете придушити цей пік постійного струму, функція вікна - це не те, що ви хочете. Як зазначалося в деяких інших відповідях, фільтр високої частоти (або, якщо по-іншому, насічний фільтр з виїмкою на нульовій частоті) є відповідним рішенням.

Щоб зрозуміти чому, вам потрібно подумати про те, що застосовує функція вікна для частотної характеристики кожного виходу DFT. DFT визначається як:

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{\frac{-j2 \pi n k}{N}}$$

Одне тлумачення того, як працює DFT, - це банк фільтрів у $N$ однаково розташовані частоти між $-\frac{f_s}{2}$ і $\frac{f_s}{2}$. Переробити суму вище:

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x_k[n]$$

де:

$$x_k[n] = x[n] e^{\frac{-j2 \pi n k}{N}}$$

Отже, $k$-вихід DFT генерується спочатку приймаючи вхідний сигнал $x[n]$ і помножуючи його на складну експоненцію на частоту $\frac{-2\pi k}{N}$ видавати сигнал, перетворений вниз $x_k[n]$. Потім отриманий сигнал підсумовується над$N$-пробове вікно, щоб отримати вихід DFT $X[k]$. Це фактично фільтр з ковзними середніми (іноді його називають фільтром боксерського автомобіля), імпульсна характеристика якого можна описати як:

$$b[n] = \begin{cases} 1,\ x = 0, 1, \ldots , N-1 \\ 0,\ \text{otherwise} \end{cases}$$

Амплітудну характеристику фільтра боксерського автомобіля можна знайти, взявши дискретний перетворення Фур'є (DTFT) цього імпульсного відгуку:

$$|H(f)| = \left|\frac{\sin\left(N \pi\frac{f}{f_s}\right)}{\sin\left(\pi\frac{f}{f_s}\right)}\right|$$

Це ядро Діріхле , і його іноді називають "періодичним синком", оскільки воно схоже на функцію sinc, але періодично повторюється, чого sinc не робить. Цей вираз дає величину відгуку кожного виходу DFT, де$f$вимірюється як зміщення частоти від центральної частоти відповідного вихідного відрізка. Це ілюструє ефект спектрального витоку ; кожен вихід DFT має частотну характеристику, яка охоплює деяку безперервну частоту спектра вхідного сигналу, а не лише дискретну центральну частоту кожного виходу.

Тепер розглянемо, як все змінюється, якщо застосувати функцію вікна до вхідного сигналу $x[n]$ перед виконанням DFT:

$$\begin{align*} X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} w[n] x[n] e^{\frac{-j2 \pi n k}{N}} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} w[n] x_k[n] \end{align*}$$

З функцією вікна на місці, перетвореною вниз $x_k[n]$ефективно проходить через фільтр FIR з імпульсною характеристикою, описаною функцією вікна. Отже, коефіцієнт відгуку величини DFT:

$$|H(f)| = |W(f)|$$

де $W(f)$ DTFT віконної функції $w[n]$. Тепер зауважте, що якщо ви вибрали віконну функцію, яка мала нуль при постійному струмі, і використали її для попереднього множення$x[n]$перед DFT, ви насправді призвели до непередбачуваного ефекту відміни не тільки постійного струму в отриманому спектрі, але й центральних частот кожного з виходів DFT. Це, мабуть, не те, що ви хочете.

Отже, якщо ви справді просто хочете скасувати компонент постійного струму сигналу, це шлях слід видалити за допомогою іншого типу попередньої обробки, а не вікна часової області. Можна використати лінійний фільтр високої частоти з дуже низькою частотою обрізання або спочатку відняти оцінене середнє з сигналу, наприклад. Вибір між цими методами повинен ґрунтуватися на інших обмеженнях у вашій системі.

Я не думаю, що використання віконної функції є хорошим способом видалення постійного струму. Як зазначалося ендолітом, загальним методом є лише віднімання середнього значення перед вікном. Іншим варіантом було б застосувати високочастотний фільтр до вашого сигналу перед аналізом, скажімо, з частотою обрізання близько 10 Гц.