Значення реальної та уявної частини перетворення Фур'є сигналу

Скажімо, - сигнал часу , його перетворення Фур'є змінної . $f$ $t$ $F$ $v$

Відомо, що в полярній координатіповідомляє нам, наскільки частота присутня над сигналом, а повідомляє нам, який внесок цієї частоти зміщений по фазі. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Про яку інформацію розповідає його реальна та уявна частина?

Або якщо я переформулюю своє запитання: чи можемо ми дати інтерпретацію перетворення Фур'є в декартовій координаті, як ми можемо зробити в полярній координаті?

fourier-transform

— user2682877
джерело

Відповіді:

Реальні та уявні частини перетворення Фур'є сигналу - це перетворення Фур'є парних і непарних частин сигналу відповідно: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

де і - реальна і уявна частини , а і - парні і непарні частини відповідно. $X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Метт Л.
джерело

Вибачте, що щільно, але я все одно не розумію. Що ви маєте на увазі під «парними та непарними частинами» сигналу? (Я також не впевнений, що означає подвійна стрілка у ваших позначеннях.)

— natevw

Оновлення: можливо, це має щось спільне з парними та непарними функціями, як зазначено тут: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

@natevw: Подвійна стрілка означає, що функції ліворуч і праворуч утворюють пару перетворень Фур'є. Кожен сигнал може бути розкладений на його парні та непарні частини:

, де

- парна функція, а

- непарна функція .

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

— Метт Л.

Дякую, що пояснює вашу відповідь у поєднанні із вступними слайдами презентації "симетрія", які я зв'язав вище!

— natevw

А що j у уявній / непарній частині?

— sssheridan

Якщо є рівні частоти, але одна - мінус іншої, вони скасують, і буде наявний уявний сигнал.

— Гамаліель
джерело

-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Сетта Рама Раджу Санапала
джерело

Хоча ваше уявлення про резистивну частину / реактивну частину в лінійних системах може бути дуже цікавим, в поточній формі ваша відповідь є безладним і навряд чи зрозумілим. Я відхиляюсь від нього

— Антуан Басул