Як оцінити передавальну функцію з частотного відгуку?

Враховуючи довільну частотну характеристику, які способи обробки сигналів можуть існувати, які могли б здогадатися, оцінити або визначити функцію передачі (полюс і нульове сузір’я), яка дає «досить хороше» наближення (для деяких заданих критеріїв якості оцінки) до заданої частотної характеристики? Які існують засоби для оцінки кількості полюсів і нулів, необхідних для даної функції передачі плюс заданий припущення помилки наближення? Або як можна визначити, що ці обмеження неможливо виконати, якщо це можливо?

Якщо задана частотна характеристика була фактично вироблена відомою функцією передачі, чи буде якийсь із цих методів сходитися на цій вихідній функції передачі? Як щодо того, якщо дана частотна характеристика зазнала (припускається Гаусса) помилок вимірювань?

Припустимо, що працює в площині Z із вибірковим спектром, хоча відповіді на постійні домени також можуть бути цікавими.

Додано: Чи відрізняються способи рішення, якщо задається лише величина частотної характеристики (наприклад, дозволений розчин з будь-якою фазовою характеристикою)?

Додано: Остання проблема - це те, що мене найбільше цікавить, враховуючи відому величину реакції навколо одиничного кола, але невідомий / невимірний фазовий відгук, чи можна оцінити вимірювану систему, і якщо так, то за яких умов?

transfer-function frequency-response zeros

— гаряча лапа2
джерело

Чи намагаєтесь ви наблизити довільну частотну характеристику як раціональний спектр? Тобто (b [0] + b [1] z ^ -1 ...) / (1 + a [1] z ^ -1 ...)? Якщо так, то це зазвичай називають моделюванням ARMA. Це складніше, ніж моделювання АР, оскільки автокореляція сигналу має тенденцію до нелінійної залежності від ковзних середніх коефіцієнтів (b [], або нулів). Якщо моє припущення правильне, я можу написати більш формальну відповідь.

— Брайан

@Bryan: Так. Я намагався натякнути, що, заявляючи рішення "полюс і нуль" (раціональна функція перенесення), підходить (бажано, тільки якщо краще, ніж весь полюс або весь нульовий розчин / оцінка однакового ступеня).

— hotpaw2

Яке значення надається частотній характеристиці ? Деякі люди розрізняють функцію частотного відгуку

або

і функцію передачі

а деякі - ні. Дивіться, наприклад, дискусію після цієї відповіді на попереднє запитання.

H (ω)

$H(\omega)$

H (f)

$H(f)$

H (s)

$H(s)$

— Діліп Сарват

@Dilip Sarwate: Давши H (w) лише для одиничного кола (це зайве?), Розв’яжіть / оцініть повне подання площини z. Сподіваюсь, це відповідає моїй оригінальній постановці питання.

— hotpaw2

Ви додаток змінює речі. Полюси і нулі можуть змінюватися, коли відповідь величини залишається однаковим. Найпоширеніший приклад цього - коли розробляється мінімальний фазовий фільтр. Зазвичай це включає взяття існуючої системи та відображення полюсів і нулів всередині одиничного кола. Це змінює лише фазовий відгук, а не величину відгуку.

— Брайан

Відповіді:

Одним із підходів було б використання методу найменших квадратів частоти (FDLS) . Враховуючи набір (складних) зразків частотного відгуку системи дискретного часу та порядок фільтру, обраний дизайнером, метод FDLS використовує лінійну оптимізацію найменших квадратів для вирішення набору коефіцієнтів (які відображаються безпосередньо на набори полюсів) і нулі) для системи, частотна характеристика якої відповідає бажаній відповіді з мінімальною сумарною помилкою у квадраті.

Частотна характеристика лінійної системи дискретного часу -го порядку може бути записана так: $N$

H (ω) = H (z) |_{z = e^{j ω}}

$H(\omega) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

де - функція передачі системи в домен . Зазвичай це записується в раціональному форматі, що безпосередньо випливає з рівняння різниці системи: $H(z)$ $z$

H (z) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} z^{- k}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} z^{- k}}

$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}$

Отже, частотна характеристика:

H (ω) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}}

$H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}}$

Перестановіть вище, щоб отримати:

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω} - H (ω) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega} - H(\omega) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}\right) = 0$

$2N+1$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$ $\omega$

Для того, щоб вирішити відповідний набір коефіцієнтів, використовуючи метод лінійних найменших квадратів, ми генеруємо переопределену систему рівнянь у цих невідомих. Для створення цих рівнянь виберіть колекцію частот $\omega_m \in [0, 2\pi), m = 0, 1, \ldots , M-1$ $M > 2N+1$ $M \gg 2N+1)$ $\omega_k$

\sum_{к = 0}^{N} б_{к} е^{- j к ω_{к}} - Н (ω_{к}) (1 + \sum_{к = 1}^{N} а_{к} е^{- j к ω_{к}}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega_k} - H(\omega_k) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega_k}\right) = 0$

$H(\omega_k)$ $\omega_k$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$

Цей прийом має ряд переваг:

Будь-який довільний комплекс (величина та фаза) частотна характеристика може бути використаний як шаблон. Якщо у вас є лише обмеження величини, ви можете просто вибрати фазовий відгук, наприклад, лінійну фазу.
$a_k$
Техніка дуже проста у виконанні і легко піддається налаштуванню на основі бажаного системного порядку.
$N$

Ви можете трохи розширити цей метод, щоб використовувати оптимізацію зважених найменших квадратів, якщо потрібно; це дозволить вам вказати області частотної характеристики, похибка наближення яких зважена більше, ніж інші. Це дозволяє більш щільно керувати зонами пропускання / зупинки, одночасно дозволяючи робити більш неохайні місця в "небайдужих" зонах.

— Джейсон Р
джерело

Відмінна відповідь !! "Мистецтво" у виконанні конструкцій фільтрів з найменшою квадратною помилкою полягає у тому, щоб правильно визначити, що саме "помилка". Це контролюється шляхом вибору правильної частотної сітки, коефіцієнтів зважування на конкретних частотах та додавання додаткових обмежень для поведінки поза діапазоном, а також для утримування полюсів всередині одиничного кола.

— Гільмар

Проблема з цим потенційним рішенням полягає в тому, що якщо фазі невідомо про існуючу функцію передачі, FDLS може сходитися на неправильному рішенні, якщо передбачається неправильна фаза, незалежно від того, наскільки правильно вгадується порядок чи вимірюється відповідь величини.

— hotpaw2

@ hotpaw2: Цього можна очікувати. Якщо ви нічого не знаєте про фазовий відповідь, то існує нескінченна кількість рішень, однаково справедливих (тобто вони мали б правильну характеристику величини). Вам знадобиться деяка інформація, щоб направити вас на те, що ви вважаєте найбільш підходящим рішенням.

— Джейсон R

@JasonR: Єдиним правильним рішенням повинні бути перестановки перегортання полюсів / нулів всередині / зовні, що є кінцевим числом для будь-якої (існуючої) системи кінцевих порядків.

— hotpaw2

Мої колеги досягли чудових результатів з векторної підгонки :

Векторна установка - це надійний чисельний метод раціонального наближення в частотній області. Це дозволяє ідентифікувати моделі простору стану безпосередньо з вимірюваних або обчислених частотних характеристик, як для одиночних, так і для декількох систем введення / виводу Отримане наближення гарантує стійкі полюси, які є реальними або складаються у складних сполучених парах.

Ми використовуємо його для перетворення FIR в IIR.

Для менш вимогливих застосувань ви можете просто використовувати нелінійні найменші квадрати, встановлені для фіксованої кількості полюсів і нулів. Це реалізовано в Matlab як invfreqsі invfreqz.

— nibot
джерело

Інший підхід: побудуйте частотну характеристику та якомога краще підкладіть до неї графік Боде. Це може бути зроблено дуже швидко для наближеного рішення, або в якомусь більш детальному сенсі квадратів для кращого пристосування. GTH

— Г Гейдт
джерело