Який взаємозв'язок між сигмою в лаплакійському Гауссі та двома сигмами в різниці гауссів?

Я розумію, що фільтр Лаплація Гаусса може бути наближений фільтром Різниця Гаусса, і що співвідношення двох сигм для останнього повинно бути 1: 1,6 для найкращого наближення. Однак я не впевнений, як дві сигми в Різниці Гауссів ставляться до сигми для лаплакійського Гаусса. Чи менша сигма в першому дорівнює сигмі другої? Чи більша сигма? Або стосунки щось інше?

Я розумію, що фільтр Лаплаціа Гаусса може бути наближений фільтром різниці Гаусса, і що співвідношення двох сигм для останнього повинно бути 1: 1,6 для найкращого наближення

Теоретично, чим менше співвідношення між двома сигмами, тим краще наближення. На практиці ви отримаєте числові помилки в якийсь момент, але поки ви використовуєте числа з плаваючою комою, менші значення, ніж 1.6, дадуть вам краще наближення.

Для ілюстрації я побудував переріз LoG і DoG для кількох значень k у Mathematica:

Як бачимо, k = 1.6 не є ідеальним наближенням. Наприклад, k = 1,1 дав би набагато ближче наближення.

Але зазвичай потрібно обчислити наближення LoG для діапазону сигм. (В іншому випадку, навіщо взагалі турбуватися з наближенням DoG? Обчислення одного фільтруваного LoG-зображення не дорожче, ніж обчислення одного фільтруваного DoG-зображення.) Значить, значення k зазвичай вибирається таким чином, щоб ви могли обчислити серію відфільтрованих гауссом зображення із сигмами s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., а потім обчислюють різниці між сусідніми гаусами. Отже, якщо ви виберете менший k, вам доведеться обчислити більше "шарів" гауссів для того ж сигма-діапазону. k = 1.6 - це компроміс між тим, що бажають близького наближення і не хочуть обчислювати занадто багато різних гауссів.

Однак я не впевнений, як дві сигми в Різниці Гауссів ставляться до сигми для лаплакійського Гаусса. Чи менша сигма в першому дорівнює сигмі другої?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Можливо, формули тут можуть вам допомогти.

Оскільки представлення просторового простору задовольняє рівнянню дифузії, то LoG можна обчислити як різницю між двома фрагментами масштабного простору.

Тому, виводячи формулу DoG, ми спочатку наближаємо LoG до кінця. Я думаю, що специфічне співвідношення для сигми випливає з того, що для досягнення наближеності LoG в першу чергу робиться одиничний крок у масштабі.