Дискретна симетрія перетворення Фур'є

Я читав розділ про дискретні перетворення Фур'є в книзі Ліона - Розуміння цифрової обробки сигналів - і не міг зрозуміти останній абзац про симетрію.

Є додаткове властивість симетрії DFT, яке заслуговує на згадку в цьому моменті. На практиці нам періодично потрібно визначати DFT реальних вхідних функцій, де індекс введення визначається як позитивними, так і негативними значеннями. Якщо ця реальна функція введення є рівною, то завжди реальна і рівна; тобто, якщо дійсне , то взагалі не нульове, а дорівнює нулю. І навпаки, якщо реальна функція введення непарна, , то завжди дорівнює нулю, а - , загалом, ненульовий.$n$$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$$x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Примітка:$X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• По-перше, що означає «непарні» та «непарні»? Я підозрюю, що це кількість вибірок у вхідному сигналі, але це призводить мене до мого другого питання,
• Чому дорівнює нулю з реальними вхідними функціями, які є парними, і чому з реальними вхідними функціями, які є непарними, дорівнює нулю і взагалі не нульовий?$X_{\textrm{imag}}(m)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Непарні і непарні стосуються симетрії навколо .$n = 0$

Навіть означає ; ви можете отримати частину для , просто віддзеркалюючи частину для у рядку .$x[n] = x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$

Непарний означає ; ви можете отримати частину для , просто віддзеркалюючи частину для у рядку і помноживши її на .$x[n] = -x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$$-1$

Косинусова хвиля парна, синусова хвиля - непарна.

Це все лише окремі випадки загальної симетрії

якщо воно є реальним в одному домені, то воно поєднане симетрично в іншому.

Кон'югат симетричний означає, що реальна частина є парною, а уявна частина - непарною. Більшість людей знає, що сигнал домену в реальному часі є сполученим симетричним спектром, але він також навпаки: сполучений симетричний сигнал часової області має реальний цінний спектр.

Відповідь Гільмара, безумовно, цілком правильна, але я вважаю, що є кілька пунктів, до яких Ліонс не звертався в заяві, процитованій ОП (або, можливо, він говорив про них раніше і вирішив не повторюватись у параграфі, цитованому ОП) .

Дискретна перетворення Фур'є (DFT) зазвичай описується як перетворення послідовності кінцевої довжини в іншу послідовність довжини де Але ці формули можна також використовувати, коли знаходиться поза межами діапазону і якщо ми це зробимо, ми дійшли висновку, що довжина DFT може розглядатися як перетворення з а$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$N$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$N$

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ $m, n$$[0, N-1]$$N$періодична послідовність до іншої періодичної послідовності , обидва поширюються на нескінченність в обох напрямках, і ця і - лише один період цих нескінченно довгих послідовностей. Зауважимо, що ми наполягаємо на тому, що і для всіх і .$x[\cdot]$$X[\cdot]$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$x[n+iN] = x[n]$$X[m+iN] = X[m]$$m, n,$$i$

Це, звичайно, не так, як дані часто обробляються на практиці. Ми можемо мати дуже довгу послідовність проб, і ми розіб'ємо їх на блоки відповідної довжини . Обчислюємо коефіцієнт DFT як DFT наступного фрагмента як DFT попереднього фрагменту як $N$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ і т.д., а потім ми граємо з цими різними DFT з різних фрагментів, на які ми поділили свої дані. Звичайно, якщо дані насправді періодичні з періодом , всі ці DFT будуть однаковими.$N$

Тепер, коли Ліон говорить про ... де індекс введення n визначається як позитивними, так і негативними значеннями ... він говорить про періодичний випадок, і коли він говорить, що (реальна) навіть функція має властивість , ця властивість повинна містити всі цілі числа . Оскільки застосовується також періодичність, ми маємо не тільки те, що але , і аналогічно . Іншими словами, справжня парна послідовність , DFT - це реальна рівна послідовність (як це заявив Ліонс і дуже красиво пояснив Гільмар), обов'язково$x[n] = x[-n]$$n$$x[-1] = x[1]$$x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$$x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$форми що є (крім провідних ) паліндромною послідовністю. Якщо ви розділяєте свої дані на блоки довжиною і обчислюєте DFT кожного блоку окремо, то ці окремі DFT не матимуть властивостей симетрії, описаних вище, якщо DFT не є блоком з цим паліндромним властивістю.

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ $x[0]$$N$

Просто для рівномірного та непарного уточнення функції,

Чітне: симетричне відносно осі y Непарне: симетричне відносно походження

І не вдаючись до математичних деталей, DFT реально значущої функції симетричний, тобто результуюча функція Фур'є має як реальні, так і уявні частини, які є дзеркальними зображеннями щодо 0 частотної складової. Це не відбувається у випадку, коли ви приймаєте DFT складної функції.