Я розумію, що перетворення Фур'є - це математична операція, яка дозволяє бачити вміст частоти даного сигналу. Але тепер, у моїй ком. Звичайно, професор запровадив трансформацію Гільберта.

Я розумію, що це дещо пов'язане зі змістом частоти, враховуючи той факт, що трансформація Гільберта множує FFT на або перетворює функцію часу на .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Яке значення перетворення Гільберта? Яку інформацію ми отримуємо, застосувавши це перетворення до заданого сигналу?

Одне застосування трансформації Гільберта - це отримання так званого аналітичного сигналу. Для сигналу його трансформація Гільберта визначається як композиція:$s(t)$з ( т )$\hat{s}(t)$

Аналітичний сигнал, який ми отримуємо, має комплексне значення, тому ми можемо виразити його в експоненціальній позначці:

де:

$A(t)$ - миттєва амплітуда (оболонка)

$\psi(t)$ - миттєва фаза.

То чим вони корисні?

Миттєва амплітуда може бути корисною у багатьох випадках (вона широко використовується для пошуку огинаючої простих гармонічних сигналів). Ось приклад імпульсної відповіді:

По-друге, виходячи з фази, ми можемо обчислити миттєву частоту:

Що знову корисно для багатьох застосувань, таких як виявлення частоти швидкості звуку, обертові двигуни тощо.

Інші приклади використання:

• Вибірка вузькосмугових сигналів у телекомунікаціях (в основному з використанням фільтрів Гільберта).

• Медична візуалізація.

• Обробка масиву для напряму прибуття.

• Аналіз системного реагування.

Простіше кажучи, перетворення Гільберта при використанні на реальних даних надає "справжню (миттєву) амплітуду" (і деякі інші) для стаціонарних явищ, перетворюючи їх на "конкретні" складні дані. Наприклад, косинус властивий амплітуді 1, яку ви не бачите безпосередньо, оскільки він візуально хитається між - 1 і 1 і періодично зникає. Перетворення Гільберта доповнює косинус "найбільш послідовним чином", так що отримана в результаті комплексна функція cos ( t ) + i sin ( t $\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ зберігає всю початкову інформацію, плюс її "амплітуда" є безпосередньо модулем 1. Все вищезазначене вимагає обережності, оскільки поняття обмеженості смуги та локальності вступає в гру.

Перетворення Гільберта (і перетворення Різа у більш високих вимірах) може бути більш фундаментальним інструментом. Мені подобається пролог глави 2 в Дослідженнях в гармонійному аналізі з додатками до теорії складних функцій та групи Гейзенберга Стівена Г. Кранца:

Пролог: Перетворення Гільберта, без сумніву, є найважливішим оператором в аналізі. Він виникає у дуже багатьох різних контекстах, і всі ці контексти переплітаються глибокими та впливовими способами. Це все зводиться до того, що у вимірі 1 є лише один особливий інтеграл, і це перетворення Гільберта. Філософія полягає в тому, що всі значущі аналітичні питання зводяться до єдиного інтегралу; і в першому вимірі є лише один вибір.

Застосування в обробці сигналу / зображення численні, можливо, завдяки його фундаментальним властивостям: миттєва оцінка амплітуди / частоти, побудова фільтрів причинних зв'язків тільки для амплітуди (відносини Крамерса-Крьоніга), 2D спрямовані вейвлети з невеликою надмірністю, виявлення зсувно-інваріантного краю, тощо.

Я також запропонував би два томи Ф. Кінга, 2009, Гілберт перетворює .

Трансформація (FT чи Hilbert тощо) не створює нової інформації з нічого. Таким чином, "отримана інформація" або доданий вимір у результуючому аналітичному комплексному сигналі, що забезпечується перетворенням Гільберта 1D / реального сигналу, є формою узагальнення локального середовища кожної точки цього сигналу, приєднаної до цього бал.

Така інформація, як локальна фаза та амплітуда огинаючої, - це справді інформація про деяку ширину чи ступінь (до нескінченної міри) сигналу, що оточує кожну локальну точку. Перетворення Гільберта, генеруючи один компонент складного аналітичного сигналу з 1D-реального сигналу, ущільнює деяку інформацію з навколишнього ступеня сигналу в кожну точку сигналу, тим самим дозволяючи приймати більше рішень (таке демодулювання трохи , графік амплітуди конвертів тощо) у кожній локальній (тепер складної) точці чи зразку, не потребуючи повторного сканування та / або оброблення нового (вейвлет, вікно Ґерцеля та ін.) вікна певної ширини на сигнал на кожному бал.

Аналітичний сигнал, що виробляється перетворенням Гільберта, корисний у багатьох програмах аналізу сигналів. Якщо спочатку пропускаєте смуговий фільтр, сигнал подання аналітичного сигналу дає вам інформацію про локальну структуру сигналу:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• амплітуда вказує на міцність структури в точці, незалежну від симетрії (фази).

Це представлення було використано для

• виявлення функції за допомогою локальної енергії (амплітуда)
• класифікація особливостей за допомогою фази
• виявлення функції за допомогою фазової конгруентності

Він також поширюється на більш високі розміри, використовуючи перетворення Різа, наприклад моногенний сигнал.

Реалізація перетворення Гільберта дозволяє нам створити аналітичний сигнал на основі деякого оригінального реального значення сигналу. І в світі комісій ми можемо використовувати аналітичний сигнал, щоб легко та точно обчислити миттєву величину вихідного сигналу реальної цінності. Цей процес використовується при демодуляції АМ. Крім того, з аналітичного сигналу ми можемо легко та точно обчислити миттєву фазу вихідного сигналу реальної цінності. Цей процес використовується як у фазовій, так і у FM-демодуляції. Ваш професор вірно висвітлює перетворення Гільберта, оскільки це так корисно в системах комунікацій.

Вже чудові відповіді, але я хотів додати, що перетворення сигналу в його аналітичну версію в цифровій області є простим (потрібний напівдіапазонний фільтр має половину його коефіцієнтів, рівний нулю), але колись там, швидкість вибірки може бути зменшена наполовину, по суті розбивши обробку на реальні та уявні шляхи. Очевидно, що тут є вартість, і потрібно вирішити деякі перехресні умови, але, як правило, це корисно в апаратних реалізаціях, коли тактова частота є фактором.

Як вже було пояснено в інших відповідях, перетворення Гільберта використовується для отримання анаїтичного сигналу, який може бути використаний для пошуку огинаючої та фази сигналу.

Інший спосіб перетворення Гільберта перетворюється на частотну область. Оскільки реальний сигнал має однакові позитивні та негативні компоненти частоти, тому в аналізі ця інформація є зайвою.

Hilbert Transform використовується для усунення частини негативної частоти та подвоєння величини позитивної частини частоти (для підтримки енергії однаковою).

Тут розроблений фільтр Hilbert Transform - це смуговий прохід в природі, який передає частоти від 50 МГц до 450 МГц. Вхід - це сума двох синусоїдальних сигналів, що мають частоти, рівні 200 МГц і 500 МГц.

З діаграми PSD ми бачимо, що негативна частотна складова сигналу 200 МГц стає ослабленою, тоді як сигнал 500 МГц проходить як такий.

На це запитання вже є багато відмінних відповідей, але я хотів включити цей дуже простий приклад та пояснення з цієї сторінки, які масово прояснили концепцію та корисність перетворення Гільберта:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ були '' відфільтровані ''.

(Відмова: Я не автор сторінки)