Поля математики, необхідні для дизайну цифрових фільтрів

Я хочу навчитися дизайну цифрових фільтрів. Мої знання з математики знаходяться на рівні середньої школи. Я можу навчитися математиці через Інтернет. Потім, які поля математики я повинен вивчити?

Якщо у вас є кулі, щоб навчитися математиці самостійно. Два напрямки математики, над якими вам потрібно домінувати, щоб зробити дизайн фільтру, це: Функціональний аналіз та опукла оптимізація. Практично кожна конструкція фільтра є результатом проблеми оптимізації, наприклад: Знайдіть цей набір чисел таким чином, що абсолютне значення перетворення Фур'є в цій частотній області має таку форму (між цими двома межами, коли частота становить від 0 Гц до 320 Гц, і між цими іншими двома, коли частота перевищує 340 Гц). Або який набір чисел такий, що при застосуванні дискретного згортання послідовності чисел до цього сигналу результатом є цей сигнал . І існує багато інших способів їх визначення.$N$$N$$x(n)$$y(n)$

І вам знадобиться функціональний аналіз, щоб зрозуміти, як моделювати сигнал, як моделювати систему та як моделювати взаємодії та операції між сигналами (перетвореннями, згортками тощо).

Сподіваюся, що це допомагає.

Для початку:

Складні числа

Частотну характеристику фільтра простіше зрозуміти комплексне значення, описуючи як частотну характеристику, так і фазову частотну характеристику. Ви зможете зрозуміти полюси і нулі, які можуть бути складними. Складні числа дозволяють мати негативні частоти, що зробить математику простішою.

Тригонометрія

$\sin$, $\cos$ та їх відношення до складного експоненціалу $e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$важливі. Синусоїдальні функції передаватимуться через фільтри, на які впливає лише їх амплітуда та фаза.

Диференціація

Щоб знайти, на якій частоті простий фільтр піків або опускається, ви можете вирішити, на якій частоті похідна його частотної характеристики частоти дорівнює нулю.

Інтеграція

Інтеграція необхідна для перетворення Фур'є та зворотного перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є дозволяє перейти від імпульсної відповіді до частотної характеристики та назад. Також у тимчасових областях часто є простий аналог у частотній області, і навпаки.

@George Theodosiou: Замість того, щоб зануритися у всілякі потужні математичні предмети (лише частина яких буде корисна вам), пропоную вам почати з читання гідної книги для початківців DSP. Наприклад, популярні книги "Розуміння цифрової обробки сигналів" або "Посібник вченого та інженера з обробки цифрових сигналів". Ці ложки для книжок подають читача, повільно і ніжно, математику, необхідну для початку вивчення ДСП. Тоді, коли ви зустрінете якесь рівняння в тих книгах, яке вас спантеличить, ви можете зайти в Інтернет і більш глибоко вивчити математику саме цього рівняння.

Джордж, якщо ваше бажання навчитися цифровій фільтрації є щирим, і ви збережете свій ентузіазм, тоді ви досягнете успіху. Цитувати Сьюзан Б. Ентоні, «Провал неможливий». Щасти.

Дуже дякую тим, хто відповів, прокоментував та переглянув моє запитання. Моя відповідь полягає в тому, що я повинен почати з функціонального аналізу, як пропонує пан Боун. З середньої школи я пам’ятаю, що коли многочлен x дорівнює y, дає функцію x з y. Також я пам’ятаю фундаментальну теорему алгебри про реальні коефіцієнти. Тоді я можу почати з цього знання.

Що стосується дизайну цифрових фільтрів, я вдячний вище за відповіді і хотів би додати деякі поля.

По-перше, обмежимось лінійною стрільбою. Лінійність, поряд з інваріантністю часу, є кореневими припущеннями. З ними векторні простори, згортки (інтеграли та ряди) та перетворення Фур'є (частина функціонального аналізу, зі складною додатковою тригонометрією) стають природними інструментами. Я наполягаю, що ці інструменти є природними наслідками лінійності / інваріантності часу, якщо ви це отримаєте, ви обережно будете спрямовані до потрібних інструментів. Оптимізація є досить поширеною у дизайні фільтрів.

Збоку ви можете пам’ятати додаткові поля. Можливо, ви будете зацікавлені в розробці додаткових фільтрів з різною швидкістю, а багатостороннє проектування фільтрів може привести вас до матричної факторизації, що корисно також у структурах фільтрів (решітка, трап) та спектральній факторизації. Якщо ви переходите до реальної реалізації системи (FPGA, мікроконтролер), вам доведеться зануритися в арифметику з фіксованою або цілою чисельністю. Звичайно, теорія вибірки є вимогою першого порядку, особливо якщо ви переходите до багатовимірної (обробка зображення). Можна навіть торкнутися вищої математики за допомогою поліноміальних систем та баз Грьобнера .

Мені подобається дуже багато, за основне математичне та чітке введення до багатьох тем, аналіз та застосування Фус’є Гаске та Вітомського : Фільтрування, Чисельні обчислення, Вейвлети .

Дозвольте додати менше згадуваного питання: одне велике запитання - це частота дотиків та точність (кількість біт на коефіцієнт), необхідна для задоволення певної конструкції фільтра. Два джерела:

• Ichige та ін. Точна оцінка мінімальної довжини фільтра для оптимальних цифрових фільтрів {FIR} , транзакцій IEEE на схемах і системах II: обробка аналогових та цифрових сигналів, 2000
• Беллангер, Про складність обчислень у цифрових фільтрах , 1981 рік