методи обчислення фіксованої точки atan2 на FPGA

Мені потрібні обчислення atan2(x,y)на FPGA з безперервним потоком введення / виводу даних. Мені вдалося реалізувати це за допомогою розкручених, конвеєрних ядер CORDIC, але щоб отримати потрібну точність, мені довелося виконати 32 ітерації. Це призвело до того, що цій задачі було присвячено досить велику кількість LUT. Я спробував змінити потік, щоб використовувати частково розкручені ядра CORDIC, але тоді мені потрібна була помножена тактова частота для виконання повторних циклів, зберігаючи постійний потік вводу / виводу. З цим я не міг зустріти терміни.

Тому зараз я прагну до альтернативних способів обчислення atan2(x,y).

Я думав про використання таблиць пошуку блок-оперативної пам’яті з інтерполяцією, але оскільки є 2 змінні, мені знадобляться 2 виміри таблиць пошуку, і це дуже ресурсомістке з точки зору використання блокової оперативної пам’яті.

Потім я думав про те, щоб скористатися тим фактом, який atan2(x,y)пов'язаний atan(x/y)з регулюванням квадранта. Проблема в цьому полягає в тому, що x/yпотрібна справжня розбіжність, оскільки yвона не є постійною, і підрозділи на FPGA дуже трудомісткі.

Чи є нові способи впровадження atan2(x,y)на FPGA, які б призвели до зменшення використання LUT, але все ж забезпечують хорошу точність?

Для позбавлення від поділу можна використовувати логарифми. Для у першому квадранті:$(x, y)$

$$z = \log_2(y)-\log_2(x)\\ \text{atan2}(y, x) = \text{atan}(y/x) = \text{atan}(2^z)$$

Рисунок 1. Ділянка$\text{atan}(2^z)$

Вам потрібно буде наблизити до діапазону щоб отримати необхідну точність 1E-9. Ви можете скористатися симетрією або альтернативно переконатися, що знаходиться у відомому октанті. Щоб наблизити :$\text{atan}(2^z)$$-30 < z < 30$$\text{atan}(2^{-z}) = \frac{\pi}{2}-\text{atan}(2^z)$$(x, y)$$\log_2(a)$

$$b = \text{floor}(\log_2(a))\\ c = \frac{a}{2^b}\\ \log_2(a) = b + \log_2(c)$$

$b$c log 2 ( c ) 1 ≤ c < 2 можна обчислити, знайшовши розташування найбільш значущого нульового біта. можна обчислити за допомогою трохи зрушення. Вам потрібно буде наблизити в діапазоні .$c$$\log_2(c)$$1 \le c < 2$

Малюнок 2. Діаграма $\log_2(c)$

Для ваших вимог точності, лінійної інтерполяції та рівномірного відбору проб, достатньо $2^{14} + 1 = 16385$ зразків $\log_2(c)$ та $30\times 2^{12} + 1 = 122881$ зразків $\text{atan}(2^z)$ для $0 < z < 30$ . Остання таблиця досить велика. З ним похибка внаслідок інтерполяції сильно залежить від $z$ :

Малюнок 3. $\text{atan}(2^z)$ наближення найбільшої абсолютної похибки для різних діапазонів $z$ (горизонтальна вісь) для різної кількості зразків (32-8192) на одиничний інтервал $z$ . Найбільша абсолютна похибка для $0 \le z < 1$ (опущена) трохи менше, ніж для $\text{floor}(\log_2(z)) = 0$ .

$\text{atan}(2^z)$ таблиця може бути розбита на кілька підтаблиць , які відповідають $0 \le z < 1$ і іншому $\text{floor}(\log_2(z))$ з $z \ge 1$ , який легко обчислити. Довжини таблиці можна вибрати, керуючись рис. 3. Індекс, що підлягає заміні, може бути обчислений за допомогою простої маніпуляції з бітними рядками. Для ваших вимог до точності $\text{atan}(2^z)$ матимуть загальну кількість 29217 зразків, якщо ви розширите діапазон $z$ до $0 \le z < 32$ для простоти.

Для подальшого ознайомлення, ось незграбний сценарій Python, який я використовував для обчислення помилок наближення:

from numpy import *
from math import *
N = 10
M = 20
x = array(range(N + 1))/double(N) + 1
y = empty(N + 1, double)
for i in range(N + 1):
    y[i] = log(x[i], 2)

maxErr = 0
for i in range(N):
    for j in range(M):
        a = y[i] + (y[i + 1] - y[i])*j/M
        if N*M < 1000: 
            print str((i*M + j)/double(N*M) + 1) + ' ' + str(a)
        b = log((i*M + j)/double(N*M) + 1, 2)
        err = abs(a - b)
        if err > maxErr:
            maxErr = err

print maxErr

y2 = empty(N + 1, double)
for i in range(1, N):
    y2[i] = -1.0/16.0*y[i-1] + 9.0/8.0*y[i] - 1.0/16.0*y[i+1]


y2[0] = -1.0/16.0*log(-1.0/N + 1, 2) + 9.0/8.0*y[0] - 1.0/16.0*y[1]
y2[N] = -1.0/16.0*y[N-1] + 9.0/8.0*y[N] - 1.0/16.0*log((N+1.0)/N + 1, 2)

maxErr = 0
for i in range(N):
    for j in range(M):
        a = y2[i] + (y2[i + 1] - y2[i])*j/M
        b = log((i*M + j)/double(N*M) + 1, 2)
        if N*M < 1000: 
            print a
        err = abs(a - b)
        if err > maxErr:
            maxErr = err

print maxErr

y2[0] = 15.0/16.0*y[0] + 1.0/8.0*y[1] - 1.0/16.0*y[2]
y2[N] = -1.0/16.0*y[N - 2] + 1.0/8.0*y[N - 1] + 15.0/16.0*y[N]

maxErr = 0
for i in range(N):
    for j in range(M):
        a = y2[i] + (y2[i + 1] - y2[i])*j/M
        b = log((i*M + j)/double(N*M) + 1, 2)
        if N*M < 1000: 
            print str(a) + ' ' + str(b)
        err = abs(a - b)
        if err > maxErr:
            maxErr = err

print maxErr

P = 32
NN = 13
M = 8
for k in range(NN):
    N = 2**k
    x = array(range(N*P + 1))/double(N)
    y = empty((N*P + 1, NN), double)
    maxErr = zeros(P)
    for i in range(N*P + 1):
        y[i] = atan(2**x[i])

    for i in range(N*P):
        for j in range(M):
            a = y[i] + (y[i + 1] - y[i])*j/M
            b = atan(2**((i*M + j)/double(N*M)))
            err = abs(a - b)
            if (i*M + j > 0 and err > maxErr[int(i/N)]):
                maxErr[int(i/N)] = err

    print N
    for i in range(P):
        print str(i) + " " + str(maxErr[i])    

Локальна помилка максимум з апроксимуючої функції $f(x)$ шляхом лінійної інтерполяції п ( х ) з зразків F ( х ) , взятий з рівномірною дискретизації вибірки інтервалу Δ х , може бути апроксимована аналітично:$\hat{f}(x)$$f(x)$$\Delta x$

$$\widehat{f}(x) - f(x) \approx (\Delta x)^2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x) + f(x + \Delta x)}{2} - f(x + \frac{\Delta x}{2})}{(\Delta x)^2} = \frac{(\Delta x)^2 f''(x)}{8},$$

де є другою похідною і знаходиться на локальному максимумі абсолютної похибки. З урахуванням сказаного ми отримуємо наближення:$f''(x)$$f(x)$$x$

$$\widehat{\text{atan}}(2^z) - \text{atan}(2^z) \approx \frac{(\Delta z)^2 2^z(1 - 4^z)\ln(2)^2}{8(4^z + 1)^2},\\ \widehat{\log_2}(a) - \log_2(a) \approx \frac{-(\Delta a)^2}{8 a^2\ln(2)}.$$

Оскільки функції увігнуті і зразки відповідають функції, помилка завжди в одному напрямку. Локальна максимальна абсолютна помилка може бути зменшена вдвічі, якби знак помилки був змінений вперед і назад один раз на кожному інтервалі вибірки. При лінійній інтерполяції близькі до оптимальних результатів можна досягти, попередньо фільтруючи кожну таблицю:

$$y[k] = \cases{\begin{array}{rrrrrl}&&b_0x[k]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_1x[k+1]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_2x[k+2]&\text{if } k = 0,\\ &c_1x[k-1]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ c_0x[k]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ c_1x[k+1]&&\text{if }0 < k < N,\\ b_2x[k-2]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_1x[k-1]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_0x[k]&&&\text{if } k = N, \end{array}}$$

де і - оригінал і відфільтрована таблиця, що охоплює а ваги . Кінцеве кондиціонування (перший і останній рядок у наведеному вище рівнянні) зменшує помилку на кінцях таблиці порівняно з використанням зразків функції поза таблицею, тому що перший і останній зразок не потрібно коригувати для зменшення помилки від інтерполяції між нею та зразком безпосередньо за столом. Підрозділи з різними інтервалами вибірки попередньо фільтруються. Значення ваг були знайдені мінімізацією послідовно для збільшення показника$x$$y$$0 \le k \le N$$c_0 = \frac{9}{8}, c_1 = -\frac{1}{16}, b_0 = \frac{15}{16}, b_1 = \frac{1}{8}, b_2 = -\frac{1}{16}$$c_0, c_1$$N$ максимальне абсолютне значення приблизної помилки:

$$(\Delta x)^N\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left(c_1f(x - \Delta x) + c_0f(x) + c_1f(x + \Delta x)\right)(1-a) + \left(c_1f(x) + c_0f(x + \Delta x) + c_1f(x + 2 \Delta x)\right)a - f(x + a\Delta x)}{(\Delta x)^N} =\left\{\begin{array}{ll}(c_0 + 2c_1 - 1)f(x) &\text{if } N = 0, \bigg| c_1 = \frac{1 - c_0}{2}\\ 0&\text{if }N = 1,\\ \frac{1+a-a^2-c_0}{2}(\Delta x)^2 f''(x)&\text{if }N=2, \bigg|c_0 = \frac{9}{8}\end{array}\right.$$

для міжпробних інтерполяційних позицій , з увігнутою або опуклою функцією (наприклад, ). При вирішенні цих ваг значення кінцевих вагових умов були знайдені шляхом мінімізації аналогічно максимального абсолютного значення:$0 \le a < 1$$f(x)$$f(x) = e^x$$b_0, b_1, b_2$

$$(\Delta x)^N\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left(b_0f(x) + b_1f(x + \Delta x) + b_2f(x + 2 \Delta x)\right)(1-a) + \left(c_1f(x) + c_0f(x + \Delta x) + c_1f(x + 2 \Delta x)\right)a - f(x + a\Delta x)}{(\Delta x)^N} =\left\{\begin{array}{ll}\left(b_0 + b_1 + b_2 - 1 + a(1 - b_0 - b_1 - b_2)\right)f(x) &\text{if } N = 0, \bigg| b_2 = 1 - b_0 - b_1\\ (a-1)(2b_0+b_1-2)\Delta x f'(x)&\text{if }N = 1,\bigg|b_1=2-2b_0\\ \left(-\frac{1}{2}a^2 + \left(\frac{23}{16} - b_0\right)a + b_0 - 1\right)(\Delta x)^2f''(x)&\text{if }N=2, \bigg|b_0 = \frac{15}{16}\end{array}\right.$$

при . Використання попереднього фільтра про половину помилки наближення і зробити це простіше, ніж повна оптимізація таблиць.$0 \le a < 1$

Малюнок 4. Похибка апроксимації з 11 зразків, з попереднім та без і з кінцевим кондиціонуванням. Без завершення кондиціонування попередній фільтр має доступ до значень функції безпосередньо за межами таблиці.$\log_2(a)$

У цій статті, мабуть, представлений дуже схожий алгоритм: Р. Гутьєррес, В. Торрес та Дж. Валлс, “ FPGA-реалізація атана (Y / X) на основі логарифмічної трансформації та методів на основі LUT ”, Journal of System Architecture , vol . 56, 2010. У рефераті сказано, що їх реалізація перемагає попередні алгоритми на основі CORDIC у швидкості та алгоритми на основі LUT у розмірі сліду.