Вибірка безперервної функції: дельта Кронекера чи Дірака?

Я читав деякі статті, що надсилаються в обробці сигналів, і я дуже заплутався в питанні в заголовку мого питання. Розглянемо безперервну функцію часу , , що я зразка при нерівних раз , де . Для мене має сенс, що вибіркова функція: де - дельта Кронекера (дорівнює коли , в іншому місці нуль). Однак у цій роботі автор визначає вибірковий сигнал як: де $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

f_{с} (т) = \frac{1}{N} \sum_{к = 1}^{N} f (т) δ (т - т_{к}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$ - дельта-функція Дірака, і я дійсно не розумію, чому тут з'являється (автор стверджує, що функція вибірки насправді є зваженою сумою дельта-функцій і тут він вибирає Я дійсно не став зрозуміти чому). Це останнє твердження не має для мене особливого сенсу: вибірковий сигнал мав би нескінченну амплітуду при !

1 / N

$1/N$

с (т) = С \frac{\sum_{к = 1}^{N} ш_{к} δ (т - т_{к})}{\sum_{к = 1}^{N} ш_{к}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

Незважаючи на все це, у другому випадку (рівняння ) визначити перетворення Фур'є набагато простіше , оскільки це лише згортання віконної функції (FT гребінця Дірака) і FT безперервного сигналу , тоді як для рівняння FT дещо складніше, оскільки у нас є ціла функція (дельта Кронекера), помножена на безперервну функцію ( ). Якісь основні моменти на цьому? $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Нестор
джерело

Моделювання процесу вибірки за допомогою множення сигналу безперервного часу за допомогою потягу імпульсів Дірака є найбільш поширеною інтерпретацією в моєму досвіді. Якщо ви заглибитеся в нього досить глибоко, ви знайдете певну незгоду з приводу математичної точності цього підходу *, але я б не переймався цим; це просто зручна модель для процесу. Немає генераторів імпульсів всередині АЦП вашого мобільного телефону, що генерують періодичні болти блискавки, які примножують їх аналогові входи.

Як ви зазначали, ви не можете обчислити безперервне перетворення Фур'є функції дельти Kronecker, оскільки його домен не є безперервним (він обмежений цілими числами). Функція дельти Дірака, навпаки, має просте перетворення Фур'є, і ефект множення сигналу на потяг імпульсів Дірака легко виявити завдяки властивості просіювання.

*: Як приклад, якщо ви збираєтеся бути математично точним, ви б сказали, що дельта Дірака зовсім не функція, а розподіл . Але на інженерному рівні ці питання справді є просто семантикою.

Редагувати: я звернусь до коментаря нижче. Ви подали свою ментальну модель процесу вибірки як:

f_{с} (т) = \sum_{к = 1}^{N} \int_{т_{к} - ϵ_{к}}^{т_{к} + ϵ_{к}} f (т) δ (т - т_{к}) г т .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{с} (т) = \sum_{к = 1}^{N} f (т_{к}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

що невірно. Натомість модель вибіркового сигналу:

f_{с} (т) = \sum_{к = - \infty}^{\infty} f (т) δ (т - к Т)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} Ж_{с} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{с} (т) е^{- j ω т} г т \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{к = - \infty}^{\infty} f (т) δ (т - к Т) е^{- j ω т} г т \\ = \sum_{к = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (т) δ (т - к Т) е^{- j ω т} г т \\ = \sum_{к = - \infty}^{\infty} f (к Т) е^{- j ω к Т} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

Ж_{с} (ω) = \sum_{н = - \infty}^{\infty} х [н] е^{- j ω н}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

що саме є визначенням дискретного перетворення Фур'є .

— Джейсон Р
джерело

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{с} (т) = \sum_{к = 1}^{N} \int_{т_{к} - ϵ_{к}}^{т_{к} + ϵ_{к}} f (т) δ (т - т_{к}) г т,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$