Чому фільтри Гаусса використовуються як фільтри низьких частот при обробці зображень?

При обробці сигналу 1d використовується багато типів низькочастотних фільтрів. Хоча фільтри Гаусса майже ніколи не використовуються.

Чому вони такі популярні в програмах для обробки зображень? Ці фільтри є результатом оптимізації будь-якого критерію чи є лише спеціальним рішенням, оскільки "пропускна здатність" зображення недостатньо визначена.

Програми для обробки зображень відрізняються від прикладних програм для обробки аудіо, оскільки багато з них налаштовані на око. Маски Гаусса майже ідеально імітують оптичну розмитість (див. Також функції розподілу точок ). У будь-якому застосуванні для обробки зображень, орієнтованому на художнє виробництво, фільтри Гаусса використовуються для розмивання за замовчуванням.

Ще однією важливою кількісною властивістю фільтрів Гаусса є те, що вони скрізь є негативними . Це важливо, оскільки більшість 1D-сигналів змінюються приблизно 0 ( ) і можуть мати як позитивні, так і негативні значення. Зображення відрізняються тим сенсом, що всі значення зображення є негативними ( x ∈ R + ). Згортання з ядром Гаусса (фільтром) гарантує негативний результат, тому така функція відображає негативні значення на інші негативні значення ( f : R + → R + ). Отже, результат завжди є іншим дійсним зображенням.$x \in \mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}^+$$f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

Загалом, відхилення частоти в обробці зображень не настільки важливо, як в 1D-сигналах. Наприклад, у схемах модуляції ваші фільтри повинні бути дуже точними, щоб відхиляти інші канали, що передаються на різних несучих частотах тощо. Я нічого не можу вважати таким, що обмежує проблеми з обробкою зображень.

Гауссові фільтри використовуються при обробці зображень, оскільки вони мають властивість, що їх підтримка у часовій області дорівнює їх підтримці в частотній області. Це відбувається завдяки тому, що Гаусс був власною трансформацією Фур'є.

Які наслідки цього мають? Добре, якщо підтримка фільтра однакова в будь-якій області, це означає, що співвідношення обох опор дорівнює 1. Як виявляється, це означає, що фільтри Гаусса мають "продукт мінімальної пропускної здатності".

То що ви можете сказати? Ну а в обробці зображень одним дуже важливим завданням є видалення білого шуму, зберігаючи при цьому чіткі краї. Це може бути суперечливим завданням - білий шум існує на всіх частотах однаково, тоді як ребра існують у високочастотному діапазоні. (Раптові зміни просторових сигналів). У традиційному видаленні шуму за допомогою фільтрації сигнал фільтрується низькочастотним, що означає, що високочастотні компоненти вашого сигналу повністю видалені.

Але якщо зображення мають краї як високочастотні компоненти, традиційні LPF'ing також видалять їх, і візуально це проявляється тим, що краї стають все більш "розмитими".

Як тоді видалити шум, але також зберегти високі частоти ребер? Введіть ядро ​​Гаусса. Оскільки перетворення Фур'є у Гаусса також є гауссом, фільтр Гаусса не має різкого відсічення на деякій частоті пропускання смуги, за якою видаляються всі більш високі частоти. Натомість він має витончений і природний хвіст, який стає все нижчим у міру збільшення частоти. Це означає, що він буде функціонувати як фільтр низьких частот, але також допускати в компонентах більш високої частоти, пропорційних швидкості розпаду хвоста. (З іншого боку, LPF матиме більш високий часовий пропускний продукт, оскільки його підтримка в F-домені не настільки велика, як у гауссів).

Тоді це дозволяє досягти найкращого з обох світів - видалення шуму та збереження краю.

Ви вже маєте хороші відповіді, але я просто додам ще одну корисну властивість 2D-фільтрів Гаусса, тобто те, що вони є роздільними , тобто 2D-фільтр можна розкласти на два 1D-фільтри. Це може бути важливим врахуванням продуктивності для більших розмірів ядра, оскільки фільтр, що розділяється на MxN, може бути реалізований з M+Nмножинними додаваннями, тоді як нероздільний MxN-фільтр вимагає M*Nмноження-додавання.

Посібник по Imagemagick чудово пояснює, чому фільтрація за допомогою функцій sinc призводить до ефекту "дзвінка", тоді як гаусианці цього не роблять. ( http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#blurring та http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#circle_spectrum ). Якщо у вас є зображення (розриви) у вашому зображенні (що робить більшість зображень), то повне відсікання всіх високих частот залишає вас з пульсаціями в просторовій області. Ви також отримуєте дзвінок, коли фільтруєте квадратні хвилі з функцією sinc в одному вимірі.

Відповіді вже було чудово, але я додам моє зерно солі, зовсім інше:

Фільтрування на найбільш абстрактному рівні може розглядатися як застосування деяких попередніх знань до деяких необроблених даних. Це означає, що застосовувати якийсь алгоритм фільтрації - це застосувати це до того, щоб знайти оптимальне співвідношення сигнал / шум, наприклад.

Для зображення класичним пріоритетом є плавність значень (наприклад, інтенсивності) щодо положення (це може розглядатися як функція поширення точки, згадана @Phonon). Його часто моделюють як гаусса, оскільки це форма, яку ви отримали при змішуванні різних об'єктів із відомим радіусом гладкості (це називається центральною граничною теоремою ). Це в основному корисно, коли ви хочете зробити похідні зображення: а не розмежовувати сирий сигнал (який би давав шумний вихід), ви повинні робити це на згладженому зображенні. Це еквівалентно застосувати оператор, що нагадує вейвлет, такий як фільтри Gabor .